Extremwertberechnung: Flächengrößtes gleichschenkeliges Dreieck bei gegebenem Umfang

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22.04.2022, 17:46	Mihawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung: Flächengrößtes gleichschenkeliges Dreieck bei gegebenem Umfang Meine Frage: Hallo, brauche Hilfe bei einer Aufgabe Aufgabe: Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120 soll Gewählt werden das der Flächeninhalt maximal ist. Bestimmen sie die seitenlängen und Flächeninhalt Meine Ideen: Also für die Hauptbedinung: 1/2 ? c? h Nebenbedingung: c= 120-2a Aber wenn ich es jetzt in die hauptbedingung einsetzten und ausrechne habe ich immer noch 2 unbekannte wie löse ich es dann?
22.04.2022, 18:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt noch eine Nebenbedingung! (Gleichschenkelig --> Beziehung zwischen c/2, h, a) mY+
22.04.2022, 18:49	Mihawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme Verstehe nicht wie die zweite Nebenbedingung sein soll
22.04.2022, 18:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Dreieck c/2, h, a ist rechtwinkelig. Welcher Satz gilt in einem solchen Dreieck? mY+
22.04.2022, 19:07	Mihawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme Ja Pythagoras, nach welcher variable soll ich dann umstellen ? Und muss ich dann die beiden Bedingungen einsetzen
22.04.2022, 19:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} HB: \ A = \frac{g \cdot h} 2 \end{eqnarray}$ Damit die Rechnung einfacher wird, setze für die Basis g = 2c, c ist dann die halbe Grundlinie des Dreieckes. $\begin{eqnarray} HB: \ A = c \cdot h \end{eqnarray}$ ----------------------- $\begin{eqnarray} NB1: \ 2a + 2c = 120 \ \to a + c = 60 \ \to a = 60 - c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} NB2: \ c^2 + h^2 = a^2 \end{eqnarray}$ Aus den beiden Nebenbedingungen folgt nun (mittels Elimination von a): $\begin{eqnarray} c^2 + h^2 = (60 - c)^2 \end{eqnarray}$ Quadriere aus und reduziere $\begin{eqnarray} c^2 \end{eqnarray}$ , damit gehe in die Hauptbedingung. Diese kannst du so verändern/vereinfachen, daß Wurzeln vermieden werden; es ist $\begin{eqnarray} A^2 = c^2h^2 \end{eqnarray}$ Das nennt man die 2. Vereinfachung der Ansatzfunktion; die Extremstelle ändert sich nicht, wenn - abgesehen vom Vorzeichen der totalen Funktion - an Stelle der Funktion deren Quadrat betrachtet wird. Man darf auch konstante Faktoren, soferne sie die ganze Funktion betreffen, weglassen (1. Vereinfachung) Zum Schluss (beim Einsetzen von $\begin{eqnarray} h^2 \end{eqnarray}$ und nach Division durch 120) ist dann die zu maximierende Funktion $\begin{eqnarray} f(c) = c^2 \cdot (30 - c) \end{eqnarray}$ [Kontr.: c = 20, a = 2c = 40; gleichseitiges Dreieck] Nicht vergessen: c ist noch immer die halbe Grundlinie (Basis) des gleichschenkeligen Dreieckes) mY+
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22.04.2022, 20:29	Mihawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertprobleme Nach was hast du c^2+h^2 ….. umgestellt?
22.04.2022, 20:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht, sondern in NB2 wurde das a aus NB1 ersetzt. $\begin{eqnarray} NB2: \ c^2 + h^2 = a^2 \end{eqnarray}$ und für a wurde aus NB1 $\begin{eqnarray} a = 60 - c \end{eqnarray}$ eingesetzt. Damit ist das a draußen. Somit ist $\begin{eqnarray} c^2 + h^2 = 3600 - 120c + c^2 \end{eqnarray}$ Netterweise kannst du $\begin{eqnarray} c^2 \end{eqnarray}$ beidseitig reduzieren und daher kommt $\begin{eqnarray} h^2 = 120 \cdot (30-c) \end{eqnarray}$ Soweit klar? mY+
22.04.2022, 21:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens, eine interessante Alternative ist die Berechnung mittels der Heron'schen Flächenformel. Diese drängt sich geradezu auf, wenn vom Umfang und der Fläche die Rede ist. Nach Heron ist $\begin{eqnarray} A^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray}$ , wobei s der halbe Umfang ist. Für das gleichschenkelige Dreieck c, a, a gilt dann $\begin{eqnarray} A^2 = s(s-a)^2(s-c) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s = a + \frac c 2 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} s - a = \frac c 2 \end{eqnarray}$ ist sofort $\begin{eqnarray} A^2 = s \cdot \frac{c^2} 4 \cdot (s-c) \end{eqnarray}$ und es liegt die Ansatzfunktion nur noch in der Variablen $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ vor (s ist gegeben und konstant) und nach Vereinfachung ist wieder $\begin{eqnarray} f(c) = c^2 \cdot (s-c) \end{eqnarray}$ mY+
22.04.2022, 22:28	Mihawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem Habe es jetzt verstanden vielen Dank.
23.04.2022, 00:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte die Aufgabe dennoch für die Nachwelt noch zu Ende führen, und zwar mit der 1. Methode. $\begin{eqnarray} f(c) = c^2(30 - c) \end{eqnarray}$ .. (c ist die halbe Grundlinie) $\begin{eqnarray} f'(c) = 60c - 3c^2 \ \to \ 3c(20 - c) = 0 \ \to c = 20 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(c) = 60 - 6c \ \to \ f''(20) = -60 < 0 \ .. Max \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} 2c = a = 40 \end{eqnarray}$ , es liegt ein gleichseitiges Dreieck vor. ---------- Mit der Methode nach Heron (s = 60) ist $\begin{eqnarray} c = \frac {2s} 3 = 40 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a = s + \frac c 2 = 40 \end{eqnarray}$ mY+
26.02.2023, 23:57	UBR	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert Frage c^2+h^2 = (60−c)^2 c^2+h^2 = 3600 – 120c + c^2 \| - c^2 h^2 = 3600 – 120c h^2 = 120 * (30-c) A^2=c^2 * h^2 A^2=c^2 * 120 * (30-c) Wo sind die 120? f(c)=c^2 * (30−c)
27.02.2023, 01:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@UBR Das ist leider unleserlich. Dennoch stimmt es offensichtlich so weit. $\begin{eqnarray} A^2 = c^2 \cdot 120 \cdot (30 - c) \end{eqnarray}$ .. Dies ist die Ansatzfunktion (in c) (c ist die halbe Basislinie des Dreieckse) Zur Vereinfachung kann - NUR zur Ableitung und zur Bestimmung der Extremstelle - der Faktor 120 weggelassen werden. Dies nennt man 1. Vereinfachung der Ansatzfunktion. Schon vorher haben wir die 2. Vereinfachung durchgeführt, nämlich das Quadrieren, um die Wurzel aufzulösen. Auch dabei bleibt die Exremstelle erhalten (auf Wurzel-Werte, die Null sind, wird verzichtet). Somit ist $\begin{eqnarray} f(c) = c^2 \cdot (30-c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(c) = 30c^2 - c^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(c) = \ldots \end{eqnarray}$ (usw.) mY+

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