Ordnung bestimmen

23.04.2022, 20:58	lukas23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung bestimmen Meine Frage: Sei F2 := (Z/2Z) der Körper mit 2 Elementen. Bestimmen Sie die Ordnung \|G\| der Gruppe G := GL(2, F2) aller invertierbaren 2 × 2-Matrizen mit Einträgen aus F2. Meine Ideen: Wie gehe ich da ran leider ist dies mein erstes Semester nd wäre neben der aufgabe auh sehr dankbar über tipps wie man am besten an solhe aufgaben rangeht
23.04.2022, 21:15	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper. Die invertierbaren Matrizen von $\begin{eqnarray} K^{n\times n} \end{eqnarray}$ bilden per se eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe $\begin{eqnarray} \mathrm{GL}(n,K) \end{eqnarray}$ . Eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ ist genau dann invertierbar, wenn $\begin{eqnarray} \det(A)\ne 0 \end{eqnarray}$ gilt. Insofern sind lediglich sämtliche Matrizen $\begin{eqnarray} A = \big(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\big) \end{eqnarray}$ zu finden, bei denen $\begin{eqnarray} 0\ne\det(A) = ad-bc \end{eqnarray}$ gilt. Kann man hier per Brute-Force machen, es gibt ja insgesamt nur 16 Matrizen.
23.04.2022, 23:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es aber auch gleich allgemein machen so wie hier. Das hat den Vorteil, auch für beliebigen endlichen Körper und Matrizengröße zu funktionieren. Finn_s brute force ist aber hier sicher auch möglich. Die zentrale Frage ist, welche Eigenschaften haben die gesuchten Objekte? Hier also, welche Eigenschaften haben invertierbare Matrizen. Finn_s Antwort ist: $\begin{eqnarray} \det(A)\neq 0 \end{eqnarray}$ . Meine Antwort ist: die Spalten dieser Matrizen sind linear unabhängig. Ausgehend von der Antwort kommt man auf verschiedenen Wegen zum Ziel.
24.04.2022, 15:25	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzer Theorie-Abriss, falls bisher keine Determinanten in der Lehrveranstaltung vorkamen. Die Determinante einer 2×2-Matrix über ihre Berechnungsformel definieren. Hilfssatz. Einmal den Determinantenproduktsatz $\begin{eqnarray} \det(AB) = \det(A)\det(B) \end{eqnarray}$ für 2×2-Matrizen nachrechnen. Hilfssatz. Für eine 2×2-Matrix über einem Körper sind äquivalent: 1. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist invertierbar, 2. $\begin{eqnarray} \det(A)\ne 0, \end{eqnarray}$ 3. die Spalten von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, Zu »1. impliziert 2.«: Es existiert $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} BA = E, \end{eqnarray}$ was gemäß Determinantenproduktsatz zu $\begin{eqnarray} \det(B)\det(A)=1 \end{eqnarray}$ führt, was $\begin{eqnarray} \det(A)\ne 0 \end{eqnarray}$ erzwingt. Zu »2. impliziert 1.«: Man kann nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Inverse $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ besitzt. Zu »1. impliziert 3.«: Linear unabhängig heißt $\begin{eqnarray} A\mathbf v = 0\Rightarrow \mathbf v=0. \end{eqnarray}$ (Die Komponenten von $\begin{eqnarray} \mathbf v \end{eqnarray}$ sind die Linearfaktoren der betrachteten Linearkombination aus den Spalten von $\begin{eqnarray} A. \end{eqnarray}$ ) Prämisse $\begin{eqnarray} A\mathbf v = 0 \end{eqnarray}$ sei gegeben. Weil $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist, folgt $\begin{eqnarray} \mathbf v = A^{-1}0 = 0. \end{eqnarray}$ Zu »3. impliziert 1.«: Aufgrund der linearen Unabhängigkeit gilt $\begin{eqnarray} A\mathbf (\mathbf v-\mathbf w)=0\Rightarrow \mathbf v-\mathbf w = 0, \end{eqnarray}$ was äquivalent zu $\begin{eqnarray} A\mathbf v=A\mathbf w\Rightarrow \mathbf v = \mathbf w \end{eqnarray}$ umgefort werden kann. Somit ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ injektiv, weshalb eine Linksinverse $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ existert, das heißt $\begin{eqnarray} BA=E, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} A^{-1}=B. \end{eqnarray}$

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