Auslöschung vermeiden mittels Termumformung

24.04.2022, 08:41

A1410

Auslöschung vermeiden mittels Termumformung

Meine Frage:
Hi smile

ich habe eine Aufgabe, an der ich einfach nicht weiterkommen. Und zwar soll ich den Term

cos(x-y), $\begin{eqnarray*} x\approx y \end{eqnarray*}$

so umformulieren, dass Auslöschung vermieden wird.

Meine Ideen:
Mir ist klar, was Auslöschung ist und ich hab es jetzt auch schon über die Additionstheoreme mit sin, cos und tan probiert, über das einfügen einer binomischen Formel und komplizierter 1 aber irgendwie fahr ich mich da immer fest.

Wäre sehr dankbar über einen Tipp zu Lösung, habe das Gefühl, ich sehe das offensichtliche nicht :/

24.04.2022, 09:46

IfindU

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RE: Auslöschung vermeiden mittels Termumformung
Ich bin mir unsicher was dein Ziel genau ist. Bei der Formel $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$ hast du ja keine Auslöschungseffekte

Eine wohl gut "genug" Approximation wäre auch
$\begin{eqnarray*} \cos(x-y) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac { (x-y)^{2k}}{(2k)!} \approx 1 - \frac { (x-y)^2} 2 = 1 - \frac { (x-y)(x+y)} 2 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Letzteres nur wenn $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ selbst nicht "groß" sind. Sonst sind viel mehr Summanden potentiell relevant.

24.04.2022, 20:54

HAL 9000

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Ich verstehe die Frage nicht so ganz: Bei $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) \end{eqnarray*}$ ist Auslöschung unvermeidlich. Vielleicht ist ja auch die Differenz zur 1 gemeint, d.h.

$\begin{eqnarray*} 1-\cos(x-y) = \frac{1-\cos^2(x-y)}{1+\cos(x-y)} = \frac{\sin^2(x-y)}{1+\cos(x-y)} \end{eqnarray*}$ .

Könnte man auch per Additionstheoremen noch zu $\begin{eqnarray*} 2\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right) \end{eqnarray*}$ umformen, beide Darstellungen sind geeigent, die Auslöschung beim Term $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x-y) \end{eqnarray*}$ zu vermeiden.

24.04.2022, 21:22

A1410

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich verstehe die Frage nicht so ganz: Bei $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) \end{eqnarray*}$ ist Auslöschung unvermeidlich. Vielleicht ist ja auch die Differenz zur 1 gemeint, d.h.

$\begin{eqnarray*} 1-\cos(x-y) = \frac{1-\cos^2(x-y)}{1+\cos(x-y)} = \frac{\sin^2(x-y)}{1+\cos(x-y)} \end{eqnarray*}$ .

Könnte man auch per Additionstheoremen noch zu $\begin{eqnarray*} 2\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right) \end{eqnarray*}$ umformen, beide Darstellungen sind geeigent, die Auslöschung beim Term $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x-y) \end{eqnarray*}$ zu vermeiden.

Ja genau das Problem habe ich halt. Auf dem Übungszettel steht genau die Aufgabe (also cos(x-y) ). Ich habe da jetzt auch schon stundenlang an Umformungen gesessen und bin immer nur wieder zu dem Ergebnis gekommen, dass die Auslöschung bleibt :/

24.04.2022, 21:26

A1410

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RE: Auslöschung vermeiden mittels Termumformung

Zitat:

Original von IfindU
Ich bin mir unsicher was dein Ziel genau ist. Bei der Formel $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$ hast du ja keine Auslöschungseffekte

Eine wohl gut "genug" Approximation wäre auch
$\begin{eqnarray*} \cos(x-y) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac { (x-y)^{2k}}{(2k)!} \approx 1 - \frac { (x-y)^2} 2 = 1 - \frac { (x-y)(x+y)} 2 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Letzteres nur wenn $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ selbst nicht "groß" sind. Sonst sind viel mehr Summanden potentiell relevant.

Hm naja, aber wenn $\begin{eqnarray*} x \approx y \end{eqnarray*}$ ist, dann kommt ja da $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + cos^2(x) \end{eqnarray*}$ raus und das ist ja wieder 1 - Auslöschungseffekt ist noch vorhanden :/

Bei der Summe erhält man ja aber auch wieder 1, wenn $\begin{eqnarray*} x \approx y \end{eqnarray*}$ ist :/

25.04.2022, 08:06

IfindU

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RE: Auslöschung vermeiden mittels Termumformung
Auslöschungseffekt heißt ja nicht, dass du $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x \approx y \end{eqnarray*}$ ausrechnest, und dort plötzlich etwas dramatisch anderes als 0 bekommst. Hier geht es nur darum auf wie viele Nachkommastellen kannst das Ergebnis korrekt berechnen.

Bei Auslöschungseffekten gehen "zu viele" Nachkommastellen verloren und durch clevere Umformungen kann man dem Computer helfen mehr zu schaffen. Aber du wirst niemals mit $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) \end{eqnarray*}$ starten, sauber rechnen und deutlich was anderes als 1 bekommen. Hier gehts mehr darum: bekommst du das "korrekte" Ergebnis wie z.B. $\begin{eqnarray*} 0.999976 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder eben nicht.

25.04.2022, 08:52

A1410

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RE: Auslöschung vermeiden mittels Termumformung

Zitat:

Original von IfindU
Auslöschungseffekt heißt ja nicht, dass du $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x \approx y \end{eqnarray*}$ ausrechnest, und dort plötzlich etwas dramatisch anderes als 0 bekommst. Hier geht es nur darum auf wie viele Nachkommastellen kannst das Ergebnis korrekt berechnen.

Bei Auslöschungseffekten gehen "zu viele" Nachkommastellen verloren und durch clevere Umformungen kann man dem Computer helfen mehr zu schaffen. Aber du wirst niemals mit $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) \end{eqnarray*}$ starten, sauber rechnen und deutlich was anderes als 1 bekommen. Hier gehts mehr darum: bekommst du das "korrekte" Ergebnis wie z.B. $\begin{eqnarray*} 0.999976 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder eben nicht.

Ja gut, aber das ist halt nunmal die Aufgabe - das umzuformen, dass Auslöschungseffekte vermieden werden, also muss ja tendenziell was anderes als "glatt" 1 rauskommen Big Laugh

ob das sinnig ist oder nicht, steht auf einem anderen Blatt

25.04.2022, 14:22

HAL 9000

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Naja, wenn wir normal mit 64Bit-Fließkomma rechnen und etwa $\begin{eqnarray*} x-y=10^{-10} \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt die numerische Rechnung $\begin{eqnarray*} 1-\cos(x-y)=0 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} 2\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\approx 5\cdot 10^{-21} \end{eqnarray*}$ liefert. Aber es bringt nichts, wenn wir $\begin{eqnarray*} \cos(x-y) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-2\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ersetzen, weil in beiden Fällen mit diesem Fließkommaformat glatt 1 herauskommt. Augenzwinkern

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