Jacobi Matrix als Ableitung

24.04.2022, 13:52	Bomschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi Matrix als Ableitung Hallo an alle, ich habe eine Aufgabe zur Jacobi Matrix: Gegeben sei die Funktion g: $\begin{eqnarray} (0,\infty )\times (0,\infty )\rightarrow\mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x,y):= \begin{pmatrix} xy \\ \frac{\sqrt{x} }{y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Offenkundig ist g differenzierbar. Überprüfen Sie dies, indem Sie direkt nachrechnen, dass die Jacobi Matrix die Ableitung liefert. Nun habe ich zunächst die Jacobi Matrix für g aufgestellt: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} y & x \\ \frac{1}{2\sqrt{x} y} & \frac{-\sqrt{x} }{y^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wie soll nun gezeigt werden, dass dies auch wirklich die Ableitung ist? Vielleicht indem man zeigt $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0} } \frac{g(x)- g(x_{0})- A(x-x_{0}) }{\| x-x_{0} \| }=0 \end{eqnarray}$ . Allerdings komme ich auch damit nicht weiter
24.04.2022, 14:40	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jacobi Matrix als Ableitung Eine vektorwertige Funktion ist dann total differenzierbar, wenn ihre Komponentenfunktionen total differenzierbar sind. Eine hinreichende Bedingung für die totale Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen ist ihre stetige partielle Differenzierbarkeit. Die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen stehen alle in der Jacobi-Matrix und sind in dem Definitionsbereich offenbar stetig. Also ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ total differenzierbar und die Jacobi-Matrix ist die Darstellungsmatrix für die lineare Näherung von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Siehe auch 3.3 und 4 in Totale Differenzierbarkeit

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