Klassische Kreiskonstruktion

25.04.2022, 12:12

trolli7

Klassische Kreiskonstruktion

Meine Frage:
Problem: Kreise so konstruieren, dass sie die gezeigte Lage haben.

Meine Ideen:
Die rechnerische Bestimmung von r ist klar. Ebenso die Konstruktion der Kreise k1 und k2.
Aber: ich erkenne keine Ortslinien für M3

Stehe ich auf dem Schlauch - oder ist das Problem nicht so einfach?

25.04.2022, 13:04

willyengland

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siehe:
https://mathworld.wolfram.com/TangentCircles.html
(etwas runterscrollen)

25.04.2022, 14:00

HAL 9000

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Ich verweise mal auf den Satz von Descartes, insbesondere die komplexe Variante: Die befasst sich nämlich auch mit den Koordinatenberechnungen der Mittelpunkte.

Zitat:

Original von trolli7
Aber: ich erkenne keine Ortslinien für M3

Wenn du von Ortslinie sprichst, was erachtest du hier als variabel? Der Skizze nach sind $\begin{eqnarray*} r_1,r_2 \end{eqnarray*}$ fest gegeben, dann ist auch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ fest. Falls auch die untere Gerade fest ist, dann kann man das ganze Gebilde allenfalls horizontal verschieden, die $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ -Ortsline ist dann eine Gerade, die parallel im Abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ zur unteren gerade verläuft. Dabei ist nach Descartes $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{r}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}} \end{eqnarray*}$ .

25.04.2022, 16:29

trolli7

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@Willy - vielen Dank für den Hinweis - aber ich suche eine Konstruktion

@HAL
gegeben ist: die gemeinsame Tangente, die Radien r1 und r2. Zu bestimmen ist der dritte Kreis. Klar ist doch: wenn ich r kenne, dann sind auch die Ortslinien für M3 klar. Wie geht man aber allein mit Zirkel und Lineal vor?
Nochmals: die rechnerische Bestimmung von r ist klar - die von dir angegebene Gleichung ist korrekt.
In der Geo ist ein Punkt durch zwei geometrische "Örter" (Ortslinien, von mir aus im Sinne von Orts"kurven") eindeutig bestimmt. Und diese beiden Örter, die M3 bestimmen, suche ich.

Bei Descartes wird übrigens auch gerechnet

25.04.2022, 18:59

Elvis

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Kreis um $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r_1+r \end{eqnarray*}$ und Kreis um $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r_2+r \end{eqnarray*}$ schneiden sich in $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ .
Anmerkung: Man muss $\begin{eqnarray*} r=\frac {r_1\cdot r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_1})^2} \end{eqnarray*}$ nicht berechnen, denn Produkte, Wurzeln, Summen und Quotienten kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren : https://de.wikipedia.org/wiki/ Konstrukt...%20d%C3%BCrfen.

26.04.2022, 03:00

trolli7

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@Elvis - auch dir danke ich für deine Antwort. Natürlich "muss" man r nicht berechnen, man muss aber wohl wissen, welche Gestalt r annimmt...

bei bekanntem r ist die Konstruktion schon klar (wie bereits mehrfach erwähnt). Allein mit Zirkel und Lineal den dritten Kreis zu kontruieren ist, soweit ist klar geworden, ganz schön aufwändig.

Damit kann das Thema als erledigt angesehen werden.

26.04.2022, 07:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von trolli7
In der Geo ist ein Punkt durch zwei geometrische "Örter" (Ortslinien, von mir aus im Sinne von Orts"kurven") eindeutig bestimmt. Und diese beiden Örter, die M3 bestimmen, suche ich.

Langer Rede kurzer Sinn: Du suchst die Konstruktion von M3 - na sag das doch gleich!

26.04.2022, 09:26

Huggy

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Zitat:

Original von trolli7
Allein mit Zirkel und Lineal den dritten Kreis zu kontruieren ist, soweit ist klar geworden, ganz schön aufwändig.

So groß ist der Aufwand nun auch wieder nicht. Ausgehend von der rechnerischen Lösung

$\begin{eqnarray*} r=\frac {r_1 r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}=\frac {r_1r_2}{r_1+2 \sqrt {r_1r_2}+r_2}=\frac {r_1r_2}N \end{eqnarray*}$

kann man die Strecke $\begin{eqnarray*} \sqrt {r_1r_2} \end{eqnarray*}$ mittels Höhensatz konstruieren. Der Nenner $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Strecke ergibt sich dann durch Streckenaddition. Hat man $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mittels Strahlensatz konstruieren, wie sich aus der Umschreibung

$\begin{eqnarray*} \frac r{r_1}=\frac {r_2}N \end{eqnarray*}$

ergibt.

26.04.2022, 10:02

Conny_1729

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Hallo,

im Anhang habe ich eine Kreiskonstruktion für R3 gelegt, die sich per Zirkel und Lineal realisieren sollte, wenn (wie hier dargestellt) mit dem großen Kreis begonnen wird.

kurze Erklärung zur Konstruktion und den Linien:

blaue Linie: Tangente der beiden Kreise R1 und R2 in ihrem Berührungspunkt D
rote Linie: Winkelhalbierende im Dreieck RAB
Strich-Punkt-Linie: Mittelsenkrechte von Strecke AD (Berührungspunkte vom großen Kreis)
Punkt-Linie: Parallele der Strich-Punkt-Linie durch den Tangentenpunkt D der beiden Kreise R1 und R2
Diese Parallele bildet den Lotpunkt E vom Kreismittelpunkt F. Die Strecke EF ist dann der Radius vom mittleren Kreis.

Wo sich die blaue und rote Linie schneiden (im Punkt O), von dort aus wird ein Lotpunkt P erzeugt. Die Strecke OP ist dann der Durchmesser von Kreis R3.

Ich hoffe, die Konstruktion stimmt.

Gruß Conny

26.04.2022, 11:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Conny_1729
rote Linie: Winkelhalbierende im Dreieck RAB

Da es davon drei Stück gibt, wäre "Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle ARB \end{eqnarray*}$ " die präzisere Beschreibung.

Hab das rechnungsmäßig noch nicht nachvollzogen, aber wenn ich das richtig verstehe, dienen viele Hilfslinien und Punkte nur dem Beweis der Richtigkeit der Konstruktion, oder? Für die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} M_3 \end{eqnarray*}$ an sich benötigst du ja augenscheinlich nur den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ der roten und blauen Linie, dann den Lotfußpunkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der Basisgeraden, und schon hast du $\begin{eqnarray*} M_3=Q \end{eqnarray*}$ als Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} OP \end{eqnarray*}$ .

26.04.2022, 11:31

willyengland

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Zitat:

Wo sich die blaue und rote Linie schneiden (im Punkt O), von dort aus wird ein Lotpunkt P erzeugt. Die Strecke OP ist dann der Durchmesser von Kreis R3.

Schlau!
Aber warum ist das so?

26.04.2022, 11:44

Conny_1729

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Zitat:

...aber wenn ich das richtig verstehe, dienen viele Hilfslinien und Punkte nur dem Beweis der Richtigkeit der Konstruktion, oder?

Die Hilfslinien habe ich benutzt, weil ich den Radius des großen Kreises und den Berührungspunkt D als bekannt vorausgesetzt hatte. Aus dieser Konstruktion sollten dann die beiden kleineren Kreise folgen. Ist jedoch der mittlere Kreis auch bekannt, dann kann man sich viele Hilfslinien sparen. Wichtig ist dann nur der Schnittpunkt aus blauer Tangente und roter Winkelhalbierender im Punkt O.
Ansonsten spielt das hineinkonstruierte Rechteck GCHD für unser Problem keine Rolle und taugt daher wohl kaum für einen Beweis. Aber es zeigt schön, wie man zu dem Lotfußpunkt E und zu dem Kreismittelpunkt F kommen würde.

Den Lotfußpunkt P erhält man aber auch als Schnittpunkt, wenn man um den Schnittpunkt R einen Kreis mit Radius RD schlägt.

Gruß Conny

.

26.04.2022, 11:46

HAL 9000

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Ich hab gerade nachvollzogen, dass mit dieser Konstruktion tatsächlich $\begin{eqnarray*} |OP| = \frac{2r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2} \end{eqnarray*}$ rauskommt, ist mir aber noch etwas zu länglich - nicht die Konstruktion, sondern mein Nachweis. Augenzwinkern

26.04.2022, 17:59

Conny_1729

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Es ist mal ganz interessant, wenn man die Kreise des vorliegenden Problems über die Inversion an einem Kreis in ein neues Problem überführt. Als Inversionskreis habe ich den großen Kreis gewählt und bezeichne seinen Radius als R1. Dann wird der mittlere Kreisradius R2 in R2´und der kleine Kreisradius R3 in R3`überführt. Aus der horizontalen X-Achse (gleich unendlich großer Kreisradius R4) ergibt sich durch die Inversion dann der Radius R4´, der halb so groß ist wie R1 bzw. R1`.

Durch die Inversion werden dann die Radien auf folgende Weise umgerechnet:
$\begin{eqnarray*} R'_{1}=R_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R'_{4}=\frac{R_{1}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R'_{2}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+2R_{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R'_{3}} =\left[\frac{1}{\sqrt{R'_{1}} }+\sqrt{\frac{1}{R'_{2}} -\frac{2}{R'_{1}} } \right] ^{2} +\frac{2}{R'_{1}} \end{eqnarray*}$

Und nun zur Konstruktion, der innenliegenden Kreise:
Die Konstruktion des Kreises mit R3' erfolgt so, dass R1', R2' sowie R4' und damit die Tangentenpunkte D und K1 als bekannt gelten.

Zuerst wird eine Winkelhalbierende zwischen den beiden blauen Tangenten erzeugt, womit sich der Kreismittelpunkt I1 vom Kreis mit Radius R2' ergibt.

Dann wird der Tangentenpunkt K1 mit dem Schnittpunkt O verbunden und schneidet den Kreis mit Radius R2' im Berührungspunkt F1. Eine Senkrechte zu I1F1 durch F1 schneidet die Y-Achse in H1. Die Verbindungstrecke H1F1 schneidet dann die eine Tangente in Q1.

Die gelbe Strecke ist die Verbindung vom Kreismittelpunkt C1 nach Q1. Der Winkel zwischen g3 und der gelben Linie soll genauso groß sein wie zwischen der gelben Linie und h3 (Winkelverdopplung). Damit ergeben sich die Schnittpunkte L1 und J1, womit der Kreis mit Radius R3' festgelegt wäre.

Und so hoffe ich, dass ich mich nicht noch an irgendeiner Stelle verrechnet habe!!!

Gruß Conny

.

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