Differenzenquotient

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nia Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenquotient
Meine Frage:
a) Der Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall I? - [-1; 4] hat den Wert 3. Wie groß ist der Differenzenquotient im Intervall I? = [-4; 1], wenn f eine gerade (bzw. ungerade) Funktion ist?

b) Formulieren Sie eine allgemeine Aussage.



Meine Ideen:
Ich hänge hier eine Weile an dieser Knobelaufgabe, hat jemand Lösungsvorschläge?

Edit (mY+): Knobelaufgabe? Wohl kaum, Daher Titel geändert!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib Dir auf, wie der Differenzenquotient im angegebenen Intervall berechnet wird und nutze die Eigenschaft einer Geraden (ungeraden) Funktion. Dann ist der größte Teil geschafft.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich gemacht! Aber mir fällt nicht wirklich eine Auffälligkeit auf, worüber man eine Aussage formulieren kann..
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast Du jetzt da stehen



und kennst somit die Differenz



Nun interessieren wir uns für



Dann erst mal zu der geraden Funktion. Da gilt ja



Jetzt?

Viele Grüße
Steffen
nia Auf diesen Beitrag antworten »

sorry für die späte Antwort!
hab ich noch nicht ganz verstanden, hat das etwas mit den exponenten der geraden bzw. ungeraden Funktion zutun..? z.B x^2 bzw x^3
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade Funktionen können alles Mögliche sein. In der Tat ist auch y=x² eine gerade Funktion, genauso aber y=cos(x).

Es geht, wie gesagt, nur um die Eigenschaft f(-x)=f(x), also Symmetrie zur y-Achse.

Diese Eigenschaft kannst Du nun geschickt ausnutzen.
 
 
nia Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich dann den gesuchten DQ ausrechne kommt der gleiche Wert 3 raus..?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht raten.

Du kennst die Differenz



(Wie groß ist die?)

Und Du weißt, dass wegen der Geradheit gilt:



sowie



Damit kennst Du auch



Denn es gilt:



Du bist dran.

PS: @Helferlein, ich wollte mich nicht in Deinen Thread reindrängen. Du kannst natürlich weitermachen.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

also -3 ? oh gott ich bin echt eine niete in mathe...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Schon ok, Steffen. Ich hätte es direkt am Quotienten zeigen lassen, aber hier scheint das Schrittweise vorgehen sinnvoller zu sein.

@nia: Wie Steffen schon sagte: Nicht raten, sondern nachdenken und schlußfolgern. Spätestens bei dem zweiten Teil musst Du eine Verallgemeinerung erarbeiten, die Dir nur dann gelingen wird, wenn Du verstanden hast, was dahinter steckt.

Wenn Dir das schwer fällt, zeichne Dir doch mal ein paar Beispiele auf: oder

Mit etwas Vorstellungsvermögen kannst Du auch einfach nur das Steigungsdreieck zeichnen und es an der y-Achse spiegeln. (Gerade Funktionen sind wie gesagt symmetrisch zur y-Achse).
nia Auf diesen Beitrag antworten »

(f(-4)-f(1))/(-4-1) = -(f(4)-f(-1))/(4-(-1)) = -3

ist diese Rechnung jetzt richtig??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus! Dann zur ungeraden Funktion.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bei der ungeraden Funktion 3 raus, stimmt das?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das passt.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann habe ich wenigstens die Rechnung und wie lässt sich das bei b) verallgemeinern?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest statt -1 und 4 die Variablen a und b verwenden.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

Also (f(a)-f(b))/(a-b)
oder
(f(-a)-f(-b))/(-a+-(-b))
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so meinte ich es nicht. Ich hätte geschrieben, wenn der Differenzenquotient im Intervall [a;b] den Wert x hat, dann hat der Differenzenquotient im Intervall [-b;-a] je nach Symmetrie den Wert...
nia Auf diesen Beitrag antworten »

je nach Symmetrie den Wert 3?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die 3 bzw. die -3 kam ja nur in Deinem Beispiel vor. Jetzt soll es ganz allgemein ausgedrückt werden, also mit x, oder welche Variable Du am liebsten hast.

Bestimmt ist Dir ja das mit dem sich umkehrenden Vorzeichen aufgefallen, oder? Unterscheide gerade und ungerade Funktionen und versuche, diesen Sachverhalt auszudrücken.
nia Auf diesen Beitrag antworten »

Also sozusagen:
Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn mit x auch (–x) zu ihrem Definitionsbereich gehört und für alle Argumente x gilt:
 f(− x)=f(x)
Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn mit x auch (–-x) zu ihrem Definitionsbereich gehört und für alle Argumente x gilt:
 f(− x)=− f(x)
nia Auf diesen Beitrag antworten »

Oh entschuldigung
f(-x) = f(x)
und
f(-x)=-f(x)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist ja nur die Definition der geraden und ungeraden Funktionen. Die kennt man ja. Hier geht es aber um den Differenzenquotienten und die Erkenntnis, die Du hier gewonnen hast.

Du hast ja im ersten Teil herausgefunden, dass für eine beliebige gerade Funktion dieses gilt:



Und für eine beliebige ungerade Funktion gilt dieses:



Du hast also jeweils die Grenzen -1 und 4 zu -4 und 1 verändert. (Wie kann man das ausdrücken?) Dann ist das Ergebnis, also der Differenzenquotient, einmal so geblieben, einmal hat es das Vorzeichen gewechselt.

Das sollst Du jetzt für beliebige Intervallgrenzen und beliebige Differenzenquotienten ausdrücken.

Du kannst dabei gerne die Schreibweise der Aufgabe, also
Zitat:
Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall [-1; 4]

verwenden.

Nenne also die eine Grenze a, die andere b und den Differenzenquotienten x. Dann los.
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