Mit vollständiger Induktion beweisen

25.04.2022, 20:25	Mathekerl	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit vollständiger Induktion beweisen Können Sie mir bite dabei helfen? Ich kann das gar nicht selbst verstehen.....
25.04.2022, 22:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ein Induktionsbeweis allgemein funktioniert, ist dir bekannt? Beispiel bei (b) Schritt 1: Die Beziehung gilt für irgend ein n, z.B. für n = 2, es folgt: 8 teilt (81 - 1) bzw. 8/80, w. A. (wahre Aussage) Schritt 2: Von n zu n+1; Induktionsannahme, die Beziehung ist richtig für n, zu beweisen ist damit die Richtigkeit für n+1 Zu beweisen ist: 8 teilt $\begin{eqnarray} (3^{2(n+1)} - 1) \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} 3^{2(n+1)} - 1 = 3^{2n} \cdot 9 - 9 + 8 \end{eqnarray}$ Nach Ausklammern von 9 bist du bald fertig .... (Der Beweis endet mit w.z.z.w. [was zu zeigen war] oder q.e.d [quod erat demonstrandum]) Alternativ kann möglicherweise auch mit Kongruenzen gearbeitet werden. Wenn bei (a) und (c) Probleme bestehen, mache mal einen Ansatz und stelle konkrete Fragen. mY+
26.04.2022, 23:33	Mathekerl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte einfach den ganzen Beweis für die drei Probleme durch sie nachschauen Also...ich wollte einfach den ganzen Beweis für die drei Probleme durch sie nachschauen, um zu greifen, wie es formuliert werden kann usw. Habe gerade schon mehrmals Youtube Videos angeguckt und auch Kurse gemacht, aber ich verstehe nur Bahnhof, deshalb.... Darum bitte ich um ein Verständnis dass ich hierher keine Antwort gestellt habe. "Unwissienheit sagt nur Stille"
27.04.2022, 01:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Unserem Prinzip gemäß gibt es hier keine Komplettlösungen. Dennoch habe ich dir bei der Aufgabe (b) den Rechenweg fast zur Gänze gezeigt, es bleibt nur noch eine kleine Fertigstellung deinerseits. Das wird dir gelingen, wenn du du selbst alle Schritte nochmals nachvollziehst, aufschreibst und dabei das Verständnis für die Aufgabe gewinnst. Beim Online Lernen ist es ebenso. Es hat nicht viel Sinn, nur einen Text zu lesen oder das Video anzusehen, um danach nur "Bahnhof zu verstehen", ohne dazwischen den Weg auf ein Blatt Papier mitzuschreiben und diesen so oft zu wiederholen, bis man ihn verstanden hat. Also ist die Hilfe, die du auf diese Weise erhältst und auch die hier im Board immer eine Hilfe zur Selbsthilfe. Nochmals die Methode des Beweises mittels der vollständigen Induktion: Die zu beweisende Formel enthält eine ganzzahlige Variable, meist mit n bezeichnet. 1. In der Formel wird die Richtigkeit mittels Einsetzen eines beliebigen Wertes für n geprüft 2. Schluss von n auf n+1 Annahme, die Formel sei richtig für n. Mit dieser wird gezeigt, dass die Formel auch für n+1 richtig ist. Wenn dies gelingt, ist damit bewiesen, dass die Formel für alle n Gültigkeit hat. (c) $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n2k = n(n+1) \end{eqnarray}$ 1. Setze für n = 1, 2, oder weitere Zahlen ein (es genügt bereits eine) und prüfe damit die Richtigkeit 2. Setze in der Formal anstatt n --> n+1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}2k = (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ . Wenn die Richtigkeit dieser Beziehung bewiesen ist, ist die Formel für alle n richtig und der Beweis vollbracht. Nun zerlegen wir $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}2k = (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ in die Summe der ersten n Glieder (dies ist die gegebene Formel und ist laut Induktionsannahme richtig) und dem (n+1). Glied: (hierfür wird bei 2k in der Formel für n = k+1 gesetzt) $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}2k = \sum_{k=1}^n2k + 2(n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (n+1)(n+2)=n(n+1) + 2(n+1) \end{eqnarray}$ Dass diese Gleichung nunmehr auf eine Identität führt, sollte dir nicht mehr schwer fallen. Die Aufgabe (a) wird analog gelöst. mY+ () Dies wird Induktionsnnahme oder auch Induktionsvoraussetzung genannt

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