Einbettungen Topologie

26.04.2022, 17:34	Zanji	Auf diesen Beitrag antworten »
Einbettungen Topologie Wir hatten in unserer Vorlesung folgende Defintion: $\begin{eqnarray} (X,O_X), (Y,O_Y) \end{eqnarray}$ top. Räume. Ein Einbettung um y nach x ist eine injektive Abbildung F:Y --> X, s.d. die induzierte Abbildung um $\begin{eqnarray} (Y,O_Y) \end{eqnarray}$ nach F(X) mit der Unterraumtopologie ein Homöomorphismus ist. Was ist in diesem Falle die induzierte Abbildung? Den Rest verstehe ich soweit meine ich. Ich habe dazu Hausaufgaben: Eine davon ist: $\begin{eqnarray} \mathbb R ,\mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ und alle Unterräume ausgestattet mit der Standardtopologie. Welche der folgenden Abbildungen ist eine Einbettung. Beweise: a) F: (0,1)-> $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ ; F(t)= $\begin{eqnarray} ((\cos(2\pi t) ,\sin(2\pi t) ) \end{eqnarray}$ Also F ist injektiv, da die 0 und die 1 nicht abgebildet werden unter F. Aber was hat es mit der induzierten Abbildung auf sich. Also Y = (0,1) aber den Rest verstehe ich noch nicht so ganz, vielleicht kann ja jemand helfen. Danke schonmal im Vorraus!
26.04.2022, 17:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einbettungen Topologie F selbst ist in aller Regel kein Homöomorphismus, weil F nur als injektiv aber nicht als surjektiv vorausgesetzt wurde. Dem kann man leicht abhelfen, wenn man $\begin{eqnarray} F:Y\to F(Y) \end{eqnarray}$ betrachtet, dann hat man eine bijektive Abbildung. Das würde ich hier unter der induzierten Abbildung verstehen. Nur leider hat man zunächst mal keine Topologie mehr im Bildraum $\begin{eqnarray} F(Y) \end{eqnarray}$ . Dem kann man abhelfen, indem man dort die Unterraumtopologie betrachtet.
29.04.2022, 16:40	Zanji	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einbettungen Topologie Okay, Danke! Das verstehe ich soweit! Aber wie weise ich den Homöo nach? Stetigkeit von F, Injektiviität und Surjektivität sind klar, aber die Stetigkeit von F^-1? Wie berechne ich F^-1?
30.04.2022, 16:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einbettungen Topologie Zeige, dass F eine offene Abbildung ist, d.h. das Bild einer offenen Teilmenge von (0.1) ist offen in der Unterraumtopologie.

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