Wahrscheinlichkeitsraum berechnen

26.04.2022, 20:17	lukas23	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsraum berechnen Meine Frage: Finde einen Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignissn A und B sodass die Voraussetzung P $\begin{eqnarray} ( A \cap B) \end{eqnarray}$ = 1/4 erfüllt ist. P(A)= 1/2 P(b) =2/3 Meine Ideen: ein wahrschienlichkeitsraum ergibt sich ja durch P( Sigma, F, P) Sigma wäre ja die { a,b} F ={leere menge}, {a} {b} { a,b} stimmt mein ansatz und wie komme ich dann auf P damit ich den ganzen wahrschienlichkeitsraum habe?
26.04.2022, 21:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Aufgabe besitzt man ja alle erdenklichen Freiheiten der Wahl. Eine sehr einfache und übersichtliche Lösung basiert auf einem geeignet gewählten Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum: Da alle vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ sind, bietet sich dazu $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,\ldots,12\} \end{eqnarray}$ an. Jetzt passende Ereignisse zu konstruieren, sollte kein Problem sein, z.B. wäre eine Möglichkeit $\begin{eqnarray} A = \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \{4,5,6,7,8,9,10,11\} \end{eqnarray}$ . Ist wie gesagt nur EINE mögliche Wahl. Der W-Raum kann auch kleiner sein (allerdings muss die Grundmenge mindestens vierelementig sein), ist dann allerdings zwangsläufig nicht mehr Laplacesch.
27.04.2022, 09:57	Lukas23	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von HAL 9000 Bei der Aufgabe besitzt man ja alle erdenklichen Freiheiten der Wahl. Eine sehr einfache und übersichtliche Lösung basiert auf einem geeignet gewählten Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum: Da alle vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ sind, bietet sich dazu $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,\ldots,12\} \end{eqnarray}$ an. Jetzt passende Ereignisse zu konstruieren, sollte kein Problem sein, z.B. wäre eine Möglichkeit $\begin{eqnarray} A = \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \{4,5,6,7,8,9,10,11\} \end{eqnarray}$ . Wenn ich das richtig Verstehe muss jetzt F = {leere menge } { 1 2 3 4 5 6 } { 4 5 6 7 8 9 10 11 } { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 } und p wäre dann 1/12 ?
27.04.2022, 10:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich sage "Laplacescher W-Raum", dann ist mit der Angabe der Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ bereits der gesamte W-Raum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray}$ automatisch festgelegt: 1) Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{F} = \wp(\Omega) \end{eqnarray}$ , also einfach die Potenzmenge. 2) W-Maß: $\begin{eqnarray} P\left(\{\omega\}\right) = \frac{1}{\|\Omega\|} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ . (Im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray} \|\Omega\|=12 \end{eqnarray}$ .) Das ist ja gerade das einfache am Laplaceschen W-Raum: Die Angabe der endlichen Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ genügt! -------------------------------------------------------------------------------- Selbstverständlich gibt es hier auch andere Möglichkeiten, z.B. folgende mit minimaler Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega = \{a,b,c,d\} \end{eqnarray}$ und da auch wieder $\begin{eqnarray} \mathcal{F}=\wp(\Omega) \end{eqnarray}$ . Hier kann man das W-Maß etwa so festlegen $\begin{eqnarray} P(\{a\}) = \frac{1}{4},~P(\{b\}) = \frac{5}{12},~P(\{c\}) = \frac{1}{4},~P(\{d\}) = \frac{1}{12} \end{eqnarray}$ um anschließend die Ereignisse $\begin{eqnarray} A=\{a,c\},B=\{b,c\} \end{eqnarray}$ zu definieren. Als Test: Kannst du begründen, warum man hier mit $\begin{eqnarray} \|\Omega\|\leq 3 \end{eqnarray}$ (d.h. drei oder weniger Elementarereignissen) nicht zu einem passenden W-Raum kommt?

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