Beweis in Probability Space

26.04.2022, 22:08

McST

Beweis in Probability Space

Ich habe Folgende Aufgabe zu loesen:

Let ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ;A; P) be a probability space and A;B;C $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A some events.
Show that:

Let $\begin{eqnarray*} B \subseteq \dot\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \end{eqnarray*}$ , where $\begin{eqnarray*} A_n \in A \end{eqnarray*}$ for each $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}. \end{eqnarray*}$ Then $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(B) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_n) \mathbb{P}(B\mid A_n). \end{eqnarray*}$

Hint: Write B as disjoint union of sets.

Ich weiss aber nicht wirklich was ich mit diesem Hinweis Angangen sollte?

Ist damit dies gemeint?
$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(B) = \dot\bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \end{eqnarray*}$

und wie damit weiter?

26.04.2022, 22:23

HAL 9000

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Der Punkt auf dem $\begin{eqnarray*} \dot\bigcup \end{eqnarray*}$ (war kaum optisch zu erkennen, ich würde $\begin{eqnarray*} \biguplus \end{eqnarray*}$ vorziehen) soll wohl andeuten, dass die Vereinigung disjunkt sein muss - in der Tat, ansonsten wäre die Behauptung falsch. Zum Hinweis: Es ist offenkundig

$\begin{eqnarray*} B = B\cap \left(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \biguplus_{n=1}^{\infty} \left(B\cap A_n\right) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die vorliegende Behauptung ist gewissermaßen eine (leichte) Verallgemeinerung der Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit:

Bei letzterer wird abweichend $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega \end{eqnarray*}$ gefordert, womit dann $\begin{eqnarray*} B\subseteq \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ automatisch erfüllt wäre.

27.04.2022, 10:33

McST

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Danke für den Hinweis mit dem Mengen Zeichen!

Ich habe den Hinweis falsch verstanden..

Ah ich habe total übersehen dass in der angabe eigentlich schon $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega \end{eqnarray*}$ steht.

damit ist dann $\begin{eqnarray*} B = B \cap \Omega = B \cap \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$

und weiter :

$\begin{eqnarray*} P(B) = P( \biguplus_{n=1}^{\infty} B \cap A_n ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(B \cap A_n) \end{eqnarray*}$ // da pairwise disjoint $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -additifity
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(A_n) * P(B \mid A_n) \end{eqnarray*}$ // conditional probability nutzen

Wenn man die Angabe versteht viel zu einfach!
Man hätte gleich $\begin{eqnarray*} B = B\cap \left(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n\right) \end{eqnarray*}$
statt $\begin{eqnarray*} B \subseteq \biguplus_{n=1}^{\infty} A_{n} \end{eqnarray*}$ in der Angabe verwenden können ...

Vielen Dank!

27.04.2022, 10:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von McST
Ah ich habe total übersehen dass in der angabe eigentlich schon $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega \end{eqnarray*}$ steht.

Davon lese ich nichts, und das braucht man auch nicht zwingend hier! unglücklich

Die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} B = B \cap \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ folgt bereits aus Voraussetzung $\begin{eqnarray*} B\subseteq \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Du solltest an der Form arbeiten: Wiederholt lese ich bei dir oben Gleichungen bzw. Gleichungsketten, wo du lustig Ereignisse mit Wahrscheinlichkeitswerten (d.h. reelle Zahlen) gleichsetzt - da stehen einem alle Haare zu Berge. geschockt

27.04.2022, 10:53

McST

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} B = B \cap \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ folgt bereits aus Voraussetzung $\begin{eqnarray*} B\subseteq \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ .

Oh jetzt versteh ich es erst glaube ich, da B eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ ist kann man genau so sagen dass B auch die Schnittmenge von sich selbst und $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ ist oder?

Zitat:

P.S.: Du solltest an der Form arbeiten: Wiederholt lese ich bei dir oben Gleichungen bzw. Gleichungsketten, wo du lustig Ereignisse mit Wahrscheinlichkeitswerten (d.h. reelle Zahlen) gleichsetzt - da stehen einem alle Haare zu Berge. geschockt

Oh ich hoffe jetzt ist es besser!

27.04.2022, 11:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von McST
Oh jetzt versteh ich es erst glaube ich, da B eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ ist kann man genau so sagen dass B auch die Schnittmenge von sich selbst und $\begin{eqnarray*} \biguplus_{n=1}^{\infty} A_n \end{eqnarray*}$ ist oder?

Ja genau: Schneidet man in diesem Fall $\begin{eqnarray*} B\subseteq C \end{eqnarray*}$ die kleinere Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit der größeren (im Sinne: umfassenderen) Menge $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , dann kommt natürlich die kleinere Menge raus, d.h. $\begin{eqnarray*} B\cap C = B \end{eqnarray*}$ .

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