Beweis der Distributivgesetze in Bezug auf Mengen

27.04.2022, 11:21

ShadyXVX

Beweis der Distributivgesetze in Bezug auf Mengen

Hi,

ich muss für die Uni die Distributivgesetze in Bezug auf Mengen beweisen, ich habe das erste fertig und wollte einmal sichergehen, ob es korrekt ist, bevor ich so weitermache. Die Aufgabe lautet:
"Zeigen Sie, dass die folgenden Distributivgesetze für Mengen L, M und N gelten:
$\begin{eqnarray*} L \cup (M \cap N) = (L \cup M) \cap (L \cup N) \end{eqnarray*}$ "

Das hier ist mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x \in (L \cup (M \cap N)) \\ \Leftrightarrow x \in L \lor x \in (M \cap N) \\ \Leftrightarrow x \in L \lor x \in M \land x \in N \\ \Leftrightarrow x \in L \lor x \in M \land x \in L \lor x \in N \\ \Leftrightarrow x \in (L \cup M) \land x \in (L \cup N) \\ \Leftrightarrow x \in ((L \cup M) \cap (L \cup N)) \\ \Rightarrow L \cup (M \cap N) = (L \cup M) \cap (L \cup N) \end{eqnarray*}$

Im Forum wird es aus irgendeinem Grund rechtsbündig formatiert, vielleicht hat da ja einer eine Idee, woran das liegt smile

Danke schonmal im Voraus!

27.04.2022, 13:07

Elvis

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RE: Beweis der Distributivgesetze in Bezug auf Mengen

Zitat:

Original von ShadyXVX
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in L \lor x \in M \land x \in N \\ \Leftrightarrow x \in L \lor x \in M \land x \in L \lor x \in N \\ \end{eqnarray*}$

Besser;
$\begin{eqnarray*} x \in L \lor (x \in M \land x \in N) \\ \Leftrightarrow (x \in L \lor x \in M) \land (x \in L \lor x \in N) \\ \end{eqnarray*}$

1. Wenn du ohne Klammern schreibst, gelten Prioritäten von links nach rechts. Dabei geht die Logik verloren.
2. In dieser Äquivalenz steckt der Knackpunkt, also musst du begründen, warum sie gilt.

27.04.2022, 15:34

ShadyXVX

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RE: Beweis der Distributivgesetze in Bezug auf Mengen
Okay, das mit den Klammern habe ich verstanden. Aber wie sähe die Begründung da aus?

27.04.2022, 17:59

Elvis

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Von der Mengenlehre ausgehend sind wir jetzt bei der Aussagenlogik angekommen. Entweder kennt man die Rechenregeln für die Operatoren $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ (Boolesche Algebra), oder man beweist die Äquivalenz durch eine Wahrheitstafel. Mein Favorit ist bei solchen Aufgaben immer eine Wahrheitstafel, weil das immer funktioniert und jeder Zweifel ausgeräumt wird.
Etwas weniger streng mathematisch ist der Beweis auch gut, wenn man verbal plausibel formulieren kann, dass alles stimmt. Wenn man damit zufrieden ist, kann man allerdings genau so gut mit Venn-Diagrammen argumentieren, damit umgeht man die Übergänge von Mengenlehre zu Aussagenlogik und von Aussagenlogik zu Mengenlehre.

29.04.2022, 10:25

ShadyXVX

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Okay, da würde ich definitiv die Wahrheitstafel nehmen, das ist ja ein absoluter No-Brainer. Also mit einer zusätzlichen Wahrheitstafel als Beweis dieser beiden Aussagen wäre der Beweis korrekt?

29.04.2022, 10:56

ShadyXVX

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Eine Sache ist mir noch eingefallen. Bei der ersten der beiden Aussagen müsste doch eigentlich wegen der Gewichtigkeit von "und" > "oder" keine Klammer hin oder?

29.04.2022, 12:57

Elvis

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In meiner Welt haben die beiden Operatoren einer booleschen Algebra ("Durchschnitt" und "Vereinigung" in der Mengenlehre, "und" und "oder" in der Aussagenlogik) gleiche Priorität, also sind Klammern notwendig. Wenn sie in einem anderen Universum nicht notwendig sind, darf man sie trotzdem setzen, das erhöht die Lesbarkeit.

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