Absolute Konvergenz mit Folge abhängig von Funktion

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz mit Folge abhängig von Funktion
Hey Leute Wink

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und würde mich freuen, wenn ihr mir einen Denkanstoß geben könntet.

Sei stetig differenzierbar und eine Zahlenfolge mit Grenzwert 2.

Ist es möglich die Beschränktheit von zu beweisen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt, insofern ist das restliche Umfeld deiner Folge völlig bedeutungslos für diese Frage. Augenzwinkern
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt ja!! Danke dir HAL, ich stand etwas auf dem Schlauch.

Weil die Antwort so schnell ging, würd ich gern noch hinterher Fragen stellen. Um auf den Grenzwert von 2 zu kommen, habe ich umgeformt



und dann die Hilfsfunktion



mit der Regel von L'Hospital untersucht habe. Es ist dazu zu sagen, dass und .

Meine Frage: Ist es überhaupt mathematisch korrekt diesen Ansatz über die Hilfsfunktion g zu wählen? Weil es sich ja eigentlich um eine Folge handelt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du von und ausgehen kannst: Aus der Definition des Differentialquotients folgt ja dann



Das gilt speziell auch dann, wenn wir für die Annäherung die Nullfolge wählen, d.h.

.

P.S.: Dabei ist zu beachten, dass man zwar aus der Existenz von auf die Existenz von schließen kann, aber nicht umgekehrt!
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir erneut HAL! Das entspricht auch genau dem, was ich noch mal in Peter Furlan (2012): "Das Gelbe Rechenbuch 1", S. 161 gelesen habe. Aus dem Grenzwert der Funktion kann auf den Grenzwert der Folge geschlossen werden. Hat die Funktion allerdings keinen Grenzwert, kann die Folge trotzdem konvergieren. Ein Beispiel fällt mir dazu allerdings nicht ein, aber das entspricht ja genau dem, was du gesagt hast Freude
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