Überdeckung von Sphären mit einer Karte

27.04.2022, 14:04

Namenloser324

Überdeckung von Sphären mit einer Karte

Auf meinem aktuellen Übungszettel gibt es die Frage, ob man S^m Sphären mit nur einer Karte überdecken könnte. Offensichtlich ist dem nicht so, jedoch überlege ich wieso folgende Konstruktion keine gültige Karte bilden sollte:

$\begin{eqnarray*} (S^m,Id) \end{eqnarray*}$ mit der Identitätsabbildung Id:S^m->R^m. Id ist bijektiv. Nun stellt sich die Frage ob Id hier stetig ist. Urbilder abgeschlossener Mengen in R^m unter Id müssten dann abgeschlossen in S^m sein. Zumindest für S^m als Teilmenge des R^m stimmt das, da das Komplement von S^m in S^m offen ist.

Nun stellen sich mir zwei Fragen:
1) Man könnte $\begin{eqnarray*} (S^m, \{S^m, \emptyset \}) \end{eqnarray*}$ betrachten. Urbilder von echten Teilmengen S^m (als Teilmenge von R^m) unter Id wären dann wieder abgeschlossen noch offen, richtig? Dann wäre Id nicht stetig.

2) Wie sieht es für $\begin{eqnarray*} (S^m, \mathcal{T}) \end{eqnarray*}$ mit der Teilraumtopologie aus?
Um zu zeigen, dass hier auch keine Überdeckung mit einer Karte möglich ist müsste ich ein Beispiel einer offenen oder abgeschlossenen Menge von R^m finden, deren Urbild nicht offen bzw. nicht abgeschlossen in S^m bezüglich der Teilraumtopologie ist. Ein solches Beispiel fällt mir jedoch aktuell nicht ein. Alle Mengen die ich betrachte bleiben offen oder abgeschlossen unter Id. Wie gehe ich hier vor?!

27.04.2022, 15:20

Huggy

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RE: Überdeckung von Sphären mit einer Karte

Zitat:

Original von Namenloser324
$\begin{eqnarray*} (S^m,Id) \end{eqnarray*}$ mit der Identitätsabbildung Id:S^m->R^m. Id ist bijektiv.

Ohne viel von der Sache zu verstehen, habe ich den Eindruck, dass du hier mit den Dimensionen durcheinander gekommen bist. Nehmen wir die euklidische $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ -Späre, also die Oberfläche einer Kugel im $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ . Eine Karte einer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung einer Teilmenge in den $\begin{eqnarray*} R_n \end{eqnarray*}$ . Die Identitätsabbildung von $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ führt aber in den $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ und nicht in den $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ , ist also keine Karte.

28.04.2022, 11:46

Namenloser324

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Du hast recht, da mein Beispiel aus irgendeinem Grund eben keine Karte ist. Wäre es aber eine, so wäre die Dimension einer Mannigfaltigkeit nicht wohldefiniert. Hier ist die Frage eben wieso mein Beispiel keine Karte ist (und natürlich möchte ich nicht die Wohldefiniertheit als Argument nutzen). Ich versuche nun mich dem über die Stetigkeit der Identitätsabbildung in diesem Fall zu nähern. Wäre diese stetig so müsste mein Beispiel eine Karte sein. Aber das kann nicht sein.

28.04.2022, 12:59

Huggy

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Betrachte mal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfalt...nigfaltigkeiten

bei der Dimensionsdefinition den Punkt 3. Bei deiner Identitätsabbildung hat man bei der $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ ja nicht mal eine bijektive Abbildung einer Umgebung eines Punktes der Sphäre zu einer offenen Teilmenge des $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ . Da muss man die Stetigkeit gar nicht mehr betrachten.

02.05.2022, 19:12

Namenloser324

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Du hast völlig recht, danke. Ich habe völlig ignoriert, dass nur die Einschränkung des Bildbereichs auf die Einheitssphäre bijektiv ist.

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