Rendite, Standardabweichung, Wahrscheinlichkeit, Normalverteilung

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vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »
Rendite, Standardabweichung, Wahrscheinlichkeit, Normalverteilung
Meine Frage:
- Fonds B ist eine risikoreiche Anlage. Er hat eine erwartete jährliche Rendite von 8,92 % mit einer jährlichen Standardabweichung von 15,89 %.
- Wenn Sie die vollen 100 $ in diesen Vermögenswert investieren, werden Sie in fünf Jahren ein erwartetes Endergebnis von 153 $ haben.
- Die tatsächliche Rendite ist jedoch nicht bekannt. Sie kann höher oder niedriger ausfallen.
c) In 70 von 100 Fällen wird Ihr Endvermögen zwischen 100 und 208 $ liegen, in 95 von 100 Fällen zwischen 72 und 289 $.

Berechnen Sie die Ergebnisse in c) mit einer jährlichen Rendite von 10.55%, einer jährlichen Standardabweichung von 10.04%, t=5 und der Investitionssumme $ 5,000.


Problem/Ansatz:

Mir ist unklar wie ich die Range der zugehörigen Wahrscheinlichkeit für 70 von 100 Fällen und 95 von 100 Fällen berechnen soll. Habt ihr eine Idee und könnte mir bei der Lösung helfen?

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist die Berechnung einer Normalverteilung mittels Excel-Sheet, hier scheitere ich aber derzeit.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist es ehrlich gesagt nicht klar: Mangels anderer Angaben würde ich für den Wertsteigerungsfaktor (d.h. Rendite+1) in Jahr eine Logarithmische Normalverteilung annehmen. Dieses ist gleichbedeutend mit , und hat dabei die Kenngrößen sowie .

Angesichts der Vorgaben hier sowie ergeben sich via die Werte sowie . Für die Fünfjahres-Wertsteigerung ergibt sich via sowie unter der Annahme unabhängiger dann was aber zur Rechnung



führt statt der im Aufgabentest angegebenen 0.7. Ebenso würde ich mit diesem Modell



statt 0.95 erhalten. Anscheinend haben die Aufgabenautoren anderes im Sinn, aber was? verwirrt
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »
Min Max
Ganz lieben Dank für die ausführliche Antwort und deine Hilfe. Das ist wirklich toll und ich freue mich sehr darüber.

Leider ist das nicht das was ich suche. Das Ergebnis muss zu den $-Werten führen, also welcher Minimalwert kann bei 70 von 100 Fällen und welcher Maximalwert erreicht werden. Genauso welcher Minimal- und Maximalwert wird bei 95 von 100 Fällen erreicht. Hast du hierzu eine Idee?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Min Max
Willkommen im Matheboard!

Ich lese da
Zitat:
t=5

Kann es also sein, dass es um die Student-Verteilung geht?

Viele Grüße
Steffen
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Min Max
Mit t=5 ist die Anzahl der Jahre gemeint zu welcher das Portfolio angelegt wird. Ich bin mir nicht sicher, ob das auf eine t-Verteilung hinweist. Hast du eine Idee zur Lösung und wie ich die Min/Max-$-Werte rausfinden kann? smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Min Max
Wenn man doch mit der Normalverteilung arbeitet und diese 70% als ein Standardabweichungsintervall ansieht, könnte es klappen.

Zumindest ist



und



Denn wenn man dieser Seite folgt, wird bei Investmentrechnungen die Standardabweichung mit der Quadratwurzel der Anzahl der Beobachtungszeiträume multipliziert.

Das zweite Intervall würde dann bei verdoppelter Standardabweichung (entspricht dem 95%-Intervall) ebenfalls herauskommen, allerdings ist es um 28 verschoben. Es wundert mich ohnehin, dass dieses Intervall nicht symmetrisch zur 153 liegt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen

Wo geht in deiner Rechnung die 70 ein? Das riecht eher nach den des -Intervalls der Normalverteilung.

Aber auch dann ist die Rechenweise sehr fragwürdig: Denn das müsste theoretisch ja auch für t=1 statt t=5 passen. Aber da lautet die Rechnung für das -Intervall NICHT , sondern ja eigentlich . verwirrt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie geschrieben, sehe ich
Zitat:
diese 70% als ein Standardabweichungsintervall

an. Die 68,3% wurden einfach galant auf 70% gerundet.
Auch sonst finde ich das ganze sehr eigenartig, aber eine bessere Idee habe ich nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halte an sich den Zugang über die Lognormalverteilung als die sauberere Variante: Zum einen wird dadurch der Zinseszinseffekt korrekt abgebildet als Summe von Normalverteilungen der logarithmierten Werte. Zum anderen kommt es gerade bei großen Standardabweichungen nicht zu dem "unmöglichen" Verhalten, dass mit positiver Wahrscheinlichkeit auch negative Endvermögen möglich sind - das kann bei Normalverteilung statt Lognormalverteilung leider passieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal über Steffens Rechnung nachgedacht: Wenn man die 0.1589 NICHT als Standardabweichung, sondern als Variationskoeffizient der Wertsteigerung eines Jahres deutet, dann kommt bei meiner obigen Lognormalrechnung abweichend und heraus, und damit dann





bzw. in der Quantilrechnung eines bzgl. der Wahrscheinlichkeiten symmetrischen 70% bzw. 95%-Konfidenzintervalls



.

Das könnte man dann wohl gelten lassen.

EDIT: Fehler bei den Quantilen korrigiert.

Zitat:
Original von vwxyz
Berechnen Sie die Ergebnisse in c) mit einer jährlichen Rendite von 10.55%, einer jährlichen Standardabweichung von 10.04%, t=5 und der Investitionssumme $ 5,000.

Wenn wir wieder wie gerade gesehen die 10.04% nicht als Standardabweichung sondern als Variationskoeffizient der Wertsteigerung eines Jahres auffassen, dann kommt hier (auf ganze Euro gerundet) das 70%-Konfidenzintervall heraus, und als 95%-Konfidenzintervall .
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann es sein, dass man bei deiner Rechnung nur hinzugewinnen kann? also stet größere werte als 5000$ rauskommen, wenn bei der ersten vorgegebenen Rechnung eine Wahrscheinlichkeit zum Verlust auftritt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vwxyz
also stet größere werte als 5000$ rauskommen

Du solltest diesbezüglich nicht von den Beispielen 70% und 95% auf die Allgemeinheit schließen. Beim 99%-Konfidenzintervall liegt die untere Grenze unter 5000$.

Zitat:
Original von vwxyz
wenn bei der ersten vorgegebenen Rechnung eine Wahrscheinlichkeit zum Verlust auftritt?

Beim ersten Beispiel war die Standardabweichung mit ca. 15% deutlich höher als hier mit ca. 10%, und gleichzeitig auch noch die mittlere Rendite deutlich kleiner.
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir vielmals für deine schnell Rückmeldung. das ist wirklich klasse und ich freue mich sehr darüber smile
Hast du zufälligerweise noch eine Idee wie ich das ganze graphisch darstellen könnte?
Ich würde gerne zeigen, welche Auszahlungen bei z.B. 70 von 100 oder 95 von 100 Fällen entstehen. Also im Grunde eine Normalverteilung (?) mit meinen Variablen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na plotte doch z.B. die Verteilungsfunktion dieser Lognormalverteilung.
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

wie genau macht man das denn? ich bin da ziemlich überfordert und unendlich dankbar, wenn du mir vielleicht eine genauere Anleitung geben könntest. hatte es über excel probiert, bin dort aber nicht weitergekommen. welches Programm empfiehlst du und kannst du mir das evtl einmal vormachen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von welchem Beispiel reden wir jetzt überhaupt: Das erste oder zweite?
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Von diesem hier:
"Berechnen Sie die Ergebnisse in c) mit einer jährlichen Rendite von 10.55%, einer jährlichen Standardabweichung von 10.04%, t=5 und der Investitionssumme $ 5,000."

Das gleiche mache ich dann noch mit t=3 und t=1. Das soll aber jetzt noch keine Rolle spielen Big Laugh wenn ich das Prinzip verstanden habe, kann ich die Abwandlungen selbst machen.

Ich hatte z.B. versucht hiermit zu arbeiten: arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm
Jedoch hilft mir das nicht wirklich, da ich 1. unsicher bin ob ich das Richtige eintrage und 2. hier keine Auszahlungswerte angezeigt werden.
Hast du eine Idee? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du die Parameter der Lognormalverteilung der Wertsteigerung EINES Jahres berechnet, so wie ich es oben skizziert habe?

Nochmal von vorn: Wenn sowohl Erwartungswert als auch die RELATIVE Standardabeichung ( = Variationskoeffizient) der Wertsteigergung des Jahres gegeben sind - wie in den vorliegenden beiden Fällen - dann kann man Gleichungssystem

und

auflösen zu sowie . Wir haben dann und für die Wertsteigerung von aufeinander folgenden Jahren mit solchen unabhängigen dann die Normalverteilung .

Für das Kapital nach Jahren mit Anfangskapital gilt dann bzw. wegen dann .

Und das kannst du dann doch plotten, z.B. auch mit Excel (NORMVERT(LOG(X);mittelwertparameter;standardabweichung;WAHR)).
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir eine PN geschrieben smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte, falls es fachbezogene Fragen gibt, diese hier diskutieren, nicht per PN.

mY+
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Leider verstehe ich nicht alle Schritte und schaffe es nicht die anderen Fälle nachzurechnen. Ich glaube, ich bräuchte eine intensivere Betreuung. Dürfte ich dich einfach um die richtigen Ergebnisse der anderen Fälle noch bitten? Das wäre grandios.

Ich brauche das gleiche für expected return 10.55% und risk 10.04% für t=1 und expected return 10.55% und risk 10.04% für t=3 Jahre.

ich wäre sehr dankbar, wenn du mir dafür noch die Ergebnisse geben könntest smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
[...] [...]

auflösen zu sowie .

Simples Einsetzen und Ausrechnen:

und

Jetzt geht es bei dir um n=1,3,5 Jahre sowie Anfangskapital .

Zitat:
Original von HAL 9000
.


Das ergibt





In Excel gibt jetzt beispielsweise

=NORMVERT(LN(5000);8,803042;0,173462;WAHR)

den Wahrscheinlichkeitswert an, nach n=3 Jahren weniger als 5000$ zu erzielen.
vwxyz Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben dank.

welche werte würden dann für das 70%-Konfidenzintervall und für das 90%-KI herauskommen?

Zuvor waren es [6384,10155] und [5191,12488]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vwxyz
welche werte würden dann für das 70%-Konfidenzintervall und für das 90%-KI herauskommen?

Das ist die umgekehrte Problemstellung: Nicht Wahrscheinlichkeiten von Intervallen berechnen, sondern zu gegebenen Wahrscheinlichkeiten die Stellen/Intervalle finden - kurz: Quantilbestimmung.

Zitat:
Original von vwxyz
Zuvor waren es [6384,10155] und [5191,12488]

Das waren die Intervalle für n=5 Jahre.

Für das 70%-Konfidenzintervall brauchen wir die Normalverteilungsquantile zum Niveau 0,15 sowie 0,85, hier für n=3:

=EXP(NORM.INV(0,15;8,803042;0,173462)
=EXP(NORM.INV(0,85;8,803042;0,173462)

Beim 95%-Intervall wären entsprechend die Quantile zum Niveau 0,025 und 0,975 zu bestimmen.
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