Körperaxiome

27.04.2022, 17:47	Mathi22	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperaxiome Meine Frage: '. Fu?r n ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne n die Menge der natu?rlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa 3 = {3,10,17,24,31,...}. Es bezeichne K := {0,1,2,3,4,5,6}. Fu?r n,m ? K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl k ? {0,1,2,3,4,5,6} mit n+m ? k. Wir definieren n+m := k. Analog sei n·m definiert durch n·m := l, falls n·m ? l. Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknu?pfungen + und · die Ko?rperaxiome (K1) K5) erfu?llt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt) Zeigen Sie, dass auf dem Ko?rper (K, +, ·) aus Aufgabe 3 keine anordnungserzeugende Menge K+ gefunden werden kann, die (A1) und (A2) erfu?llt. Meine Ideen: Weiß jemand wie man es am besten zeigen könnte.
27.04.2022, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man nicht aus der Algebra weiß, dass der Faktorring $\begin{eqnarray} \mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray}$ genau dann ein Körper ist, wenn das Ideal $\begin{eqnarray} (m)=m\mathbb Z<\mathbb Z \end{eqnarray}$ maximal ist, dass die maximalen Ideale im Ring der ganzen Zahlen genau die Primideale und diese wiederum genau die von Primzahlen $\begin{eqnarray} m=p \end{eqnarray}$ erzeugten Hauptideale $\begin{eqnarray} (p) \end{eqnarray}$ sind ... dann bleibt nur das fleißige Nachrechnen der Axiome. Wikipedia: Zur historischen Entwicklung Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl „wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gauß gezeigt. Galois führte in die Rechnung modulo $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ imaginäre Zahlgrößen ein, ganz so wie die imaginäre Einheit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ in den komplexen Zahlen. Damit hat er wohl als erster Körpererweiterungen von $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ betrachtet – wenn auch der abstrakte Körperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingeführt wurde und Frobenius als Erster diesen 1896 auf endliche Strukturen ausdehnte. Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Körper studiert und den Namen Galoisfield eingeführt.
27.04.2022, 19:03	Mathip	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperaxiome Meine Frage: Fu?r n ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne n die Menge der natu?rlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa 3 = {3,10,17,24,31,...}. Es bezeichne K := {0,1,2,3,4,5,6}. Fu?r n,m ? K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl k ? {0,1,2,3,4,5,6} mit n+m ? k. Wir definieren n+m := k. Analog sei n·m definiert durch n·m := l, falls n·m ? l. Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknu?pfungen + und · die Ko?rperaxiome (K1) K5) erfu?llt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt) Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass auf dem Ko?rper (K, +, ·) aus Aufgabe 3 keine anordnungserzeugende Menge K+ gefunden werden kann, die (A1) und (A2) erfu?llt. Wir dürfen dies nicht anhand der Maximale zeigen. Meine Ideen: Analysis kein Algebra Willkommen im Matheboard! Ich habe Deine beiden Threads zusammengefügt. Außerdem bist Du nun zweimal angemeldet, Mathi22 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen
27.04.2022, 19:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Körper haben in der Analysis (=Differential- und Integralrechnung reeller Funktionen, oder ähnliche Theorien) zunächst nichts zu suchen. Endliche Körper gehören ganz klar zur Algebra und dann später auch zur Zahlentheorie. Also: "zu Fuß" rechnen !
27.04.2022, 19:36	Mathip	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperaxiome Hallo, vielen Dank. Könnten Sie mir ein Beispiel zeigen. Das wäre echt toll.
28.04.2022, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität der Addition: Für alle $\begin{eqnarray} a,b \in K \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a+b=7a'+r_a+7b'+r_b=7(r_a+r_b)'+r=r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =7(r_b+r_a)'+r=7b'+r_b+7a'+r_a=b+a \end{eqnarray}$ Anmerkung: Alle Axiome gelten mit Resten zwischen 0 und 6, und es ist 7*x=0 für alle x. (Echt toll ? Nein, echt langweilig )
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