Unitäre Matrix und Vektorraum

27.04.2022, 20:48

Stud27042022

Unitäre Matrix und Vektorraum

Hallo,

Gegeben ist die Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \Phi: \mathbb{C}^{4} \times \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}, \quad(x, y) \mapsto \overline{x^{t}}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & b & 1 \\ 0 & a & 3 & 0 \\ i & 3 & c & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) y \end{eqnarray*}$

1.) Für welche $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ ist die Matrix $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & b & 1 \\ 0 & a & 3 & 0 \\ i & 3 & c & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ unitär

2.) Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} a, b, c \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{C}^{4}, \Phi\right) \end{eqnarray*}$ zu einem unitären Vektorraum?

Meine Ansätze:

1.) Ich würde versuchen U^H U = I zu lösen, wobei U^H die komplex konjugiert und transponierte mein. Ist das ein guter Ansatz?

2.) Hier weiß ich nicht genau weiter, damit das ein Vektorraum ist, müssten die Basisvektoren linear unabhängig sein. Aber wie stellt man das hier an?

28.04.2022, 13:42

Huggy

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RE: Unitäre Matrix und Vektorraum

Zitat:

Original von Stud27042022
1.) Ich würde versuchen U^H U = I zu lösen, wobei U^H die komplex konjugiert und transponierte mein. Ist das ein guter Ansatz?

Das klingt vernünftig, denn das ist ja die Definition einer unitären Matrix. Aber anscheinend bin ich ganz heftig auf den Kopf gefallen. Die erste Zeile von $\begin{eqnarray*} U^H \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} (1,0,-i,1) \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt mit der ersten Spalte von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Die Matrix kann also ganz unabhängig von $\begin{eqnarray*} a, b, c \end{eqnarray*}$ nicht unitär sein. Was ist da los?

28.04.2022, 18:00

Stud27042022

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RE: Unitäre Matrix und Vektorraum
Hey Huggy danke für deine Antwort!

Also die Matrix kann also schon mal nicht unitär "werden", deine Begründung finde ich auch vernünftig. Ich würde damit die 1.) unbeantwortet lassen. Hast du eine Idee, wie man die 2.) lösen könnte? Da bin ich mir nämlich unsicher.

28.04.2022, 20:12

Huggy

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RE: Unitäre Matrix und Vektorraum
Nach meinem rudimentären Verständnis ist ein unitärer Vektorraum ein komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist. Und nach meinem wiederum rudimentären Verständnis induziert die Matrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt, wenn sie hermitesch und positiv definit ist.

Du solltest aber dazu noch mal euer Skript konsultieren. Vielleicht liest ja auch jemand mit, der sich auf dem Gebiet besser auskennt als ich.

01.05.2022, 10:30

Stud27042022

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Falls noch Jemand eine Idee zur 2.) hat, würde ich mich sehr freuen!

01.05.2022, 11:10

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Huggy hat alles gesagt: Hermitesch und positiv definit.
Das erste beschert einem sofort b=-i und reelles a und c. Die Definitheit musst du zeigen.

01.05.2022, 11:22

Huggy

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Bezüglich der positiven Definitheit sollte man sich mal das Hauptminorenkriterium anschauen. Daraus können sich weitere Einschränkungen für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ergeben.

01.05.2022, 11:32

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Darüber habe ich es auch gemacht. Freude

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