Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilung

30.04.2022, 14:47

HiBee123

Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilung

[attach]55050[/attach][attach]55050[/attach]Ich hab eine Vorlesung verpasst leider und jetzt verstehe ich die Aufgabe nicht. Wäre super wenn mir die jemand erklären könnte,was hier eigentlich zu tun ist. Wenn ich raten müsste würde ich glaube dass man dem Ereignis a_k die WSK lambda^k/k! zuordnet...

30.04.2022, 15:03

Leopold

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RE: Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zitat:

Original von HiBee123
Wenn ich raten müsste würde ich glaube dass man dem Ereignis a_k die WSK lambda^k/k! zuordnet...

Nicht ganz. Der Reihenwert über alle $\begin{align*} a_k \end{align*}$ ist nicht 1, daher normiert man. Ist also $\begin{align*} a = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \end{align*}$ , so ist

$\begin{align*} P \left( \left\{ k \right\} \right) = \frac{a_k}{a} \end{align*}$

zu setzen. Die ganzen Zahlen $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ bilden also die Elementarereignisse. (Man könnte auch jede andere abzählbar unendliche Menge $\begin{align*} \left\{ \omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots \right\} \end{align*}$ als Ergebnisraum $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ nehmen. Hier bietet sich $\begin{align*} \omega_k = k \end{align*}$ an.)

30.04.2022, 15:50

HiBee123

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RE: Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilung
Also... ich wähle einfach mal Omega=Natürliche Zahlen. für Die Zähldichte $\begin{eqnarray*} f(k)=\frac{a_k}{\sum\limits_{k=1}^{n} a_k } \end{eqnarray*}$ aber Aufgabenteil (iii) erschließt sich mir noch nicht ganz... Damit wir die Zähldichte definieren können, muss die Summe konvergieren, oder? Bezieht sich die Aufgabe darauf? oder noch auf was anderes? Zum Beispiel konvergiert c ja nur dann, wenn |q|<1 ist.

30.04.2022, 16:42

HAL 9000

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In der Vorgabe steht bereits $\begin{eqnarray*} q\in (-1,1) \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ ist und für die Konvergenz der Reihe ausreichend ist. Allerdings nicht ausreichend für die beabsichtigte Nutzung als Wahrscheinlichkeitsverteilung, denn für die wird zusätzlich ja gefordert, dass alle $\begin{eqnarray*} f(k)\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind - dazu muss bei c) zusätzlich auch noch $\begin{eqnarray*} q\geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, insgesamt also $\begin{eqnarray*} 0\leq q<1 \end{eqnarray*}$ .

30.04.2022, 19:56

HiBee123

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Ah ja gut. und aus dem selben Grund muss lambda positiv sein. die Reihe dürfte ja gegen die e-funktion konvergieren. bleibt die Frage was ist mit a und b zum einen müssten ja wieder beide positiv sein. Die Frage reduziert sich also darauf, wann die Reihe mit dem Binomealkoeffizienten konvergent ist. ich würde meinen, dass ist wieder der Fall wenn a und b kleiner 1 sind. aber vielleicht überseh ich dabei was?

30.04.2022, 21:03

HAL 9000

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Reihe (b) wird zur Summe, da nur endlich viele Glieder ungleich Null sind. Damit haben wir immer Konvergenz.

P.S.: Denk einfach mal an den Binomischen Satz.

01.05.2022, 11:02

HiBee123

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Ah ja prima Freude

Dankeschön, ich hab mir die Definition nochmal angesehen und jetzt ergibt das Sinn.

01.05.2022, 19:10

HAL 9000

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Und, geht es weiter? Am Ende der Betrachtungen sollte die Erkenntnis stehen, dass alle drei (a)(b)(c) nicht nur zu irgendwelchen, sondern jeweils zu wohlbekannten diskreten Verteilungen führen.

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