Konvergenz in metrischen Räumen zeigen |
| 30.04.2022, 15:09 | franzekc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenz in metrischen Räumen zeigen Hallo, ich habe Probleme, diese Aufgabe zu lösen: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige: Eine Folge (xn) in X konvergiert genau dann gegen a Element aus X, wenn epsilon >0 existiert N aus N sodass für alle n>N : d(xn,a)< epsilon . Da ich im ersten Semester bin, ohne jedoch Vorkenntnisse der Analysis I zu haben, komme ich bei dieser Aufgabe einfach nicht voran. Ich würde mich sehr über eure Hilfestellung freuen! Meine Ideen: Leider habe ich kein Ansatz außer die Definition zur Konvergenz von Folgen. Ich weiß, dass man die Definition anwenden muss, aber wie genau, darauf komme ich einfach nicht |
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| 30.04.2022, 15:44 | Malcang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du sicher, dass das die Aufgabe ist? Meines Erachtens ist dies die Definition der Konvergenz, auch wenn hier der wichtige Term "Für alle epsilon>0" fehlt. 
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| 30.04.2022, 16:01 | franzekc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dass ist die erste Teilaufgabe. Ich habe bei der Nachbearbeitung vergessen, dass "für alle" noch hinzuzufügen, natürlich muss es "Für alle epsilon>0" heißen. Aber ich weiß nicht, wie man dass nun zeigen soll. die zweite Teilaufgabe lautet: Sei R^n versehen mit der euklidischen Metrik. Zeige: Eine Folge (xv) in R^n konvergiert genau dann gegen a Element aus R^n, wenn jede Komponentenfolge (xv,j) in R gegen aj konvergiert, also lim xv,j = aj für alle j Element aus {1,...,n}. Ich weiß aber nicht, ob die zweite Teilaufgabe für die erste relevant ist. |
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| 30.04.2022, 16:04 | franzekc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
meine Tutorin hat halt den Tipp gegeben, dass es an sich trivial ist und man das ganze alles sauber aufschreiben soll. Aber ich weiß leider nicht, wie man das machen soll |
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| 30.04.2022, 16:20 | Malcang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn überhaupt, ist sowas andersherum. Jedenfalls im ersten Semester. Wie du aber hier sehen kannst, ist die "Aufgabe" nichts anderes als die Definition der Konvergenz. Von daher wundert mich wirklich, was hier zu tun sein soll. |
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| 30.04.2022, 16:29 | franzekc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe außerdem zu der Definition noch das gefunden, ich weiß ja nicht, ob das weiterhelfen könnte |
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| 30.04.2022, 17:02 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das eure Definition der Konvergenz von Folgen ist, ergibt sich der Beweis aus der Definition von Umgebung. In der taucht sicher der Begriff der -Umgebung auf. |
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