Ausgezeichnete Punkte am Dreieck

Neue Frage »

Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgezeichnete Punkte am Dreieck
Nochmal Geometrie Augenzwinkern

da ich jetzt eine andere Aufgabe betrachte, habe ich auch einen neuen Thread aufgemacht. Hoffe, das war so ok.

Die erste Aufgabe ist folgende:
Sei ABC ein Dreieck.
Zeigen Sie, daß in ABC der Höhenschnittpunkt genau dann mit dem Umkreismittelpunkt zusammenfällt, wenn das Dreieck gleichseitig ist.


Meine Ideen:
"Gleichseitig => Fällt zusammen" ist einfach mit den uns bekannten Formeln für die jeweiligen Schnittpunkte.

Nun die andere Richtung. Betrachte ich mal ein Dreieck ABC und darin die Höhe h auf AB.

[attach]55065[/attach]

Mein Plan ist folgender:
Da h orthogonal auf AB steht, zerfällt das Dreieck in die rechtwinkligen Dreiecke AMC und MBC.
Der Beweis läuft nun sicher darauf hinaus zu zeigen, dass diese beiden kongruent sind. Mir ist allerdings nicht unmittelbar klar, warum die Höhe h den Winkel bei C halbieren sollte verwirrt
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Der Umkreis hat als Mittelpunkt im allgemeinen Dreieck den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Und im gleichseitigen Dreieck sind die Höhen deckungsgleich mit den Mittelsenkrechten.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Der Umkreis hat als Mittelpunkt im allgemeinen Dreieck den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Und im gleichseitigen Dreieck sind die Höhen deckungsgleich mit den Mittelsenkrechten.


Aber ich möchte ja in die andere Richtung.

Ich habe allerdings auch schon überlegt anzunehmen, dass Höhen und Mittelsenkrechten übereinstimmen. Aber dann dachte ich, da fehlt ja dann der Beweis, dass nur dann auch die Schnittpunkte zusammenfallen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malcang
Ich habe allerdings auch schon überlegt anzunehmen, dass Höhen und Mittelsenkrechten übereinstimmen.

Erster Schritt ist die Überlegung, dass Höhengerade und Mittelsenkrechte derselben Dreiecksseite IMMER parallel sind. Damit sind sie entweder gleich, oder aber im anderen Fall disjunkt, d.h., besitzen keinen gemeinsamen Punkt. In letzterem Fall können dann aber Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt nicht identisch sein - klar, warum?
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Erster Schritt ist die Überlegung, dass Höhengerade und Mittelsenkrechte derselben Dreiecksseite IMMER parallel sind.
Damit sind sie entweder gleich, oder aber im anderen Fall disjunkt, d.h., besitzen keinen gemeinsamen Punkt. In letzterem Fall können dann aber Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt nicht identisch sein - klar, warum?


Ach ja, das sehe ich ein. Wenn sie disjunkt sind, können ja auch insbesondere nicht die Schnittpunkte von Höhen- und Mittelsenkrechten zusammenfallen.

Das war ein guter Hinweis, HAL. Vielen Dank, ich tüftle gleich weiter. Freude
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, muss ich leider auf morgen vertagen, mir ist gerade was dazwischengekommen unglücklich
 
 
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Erster Schritt ist die Überlegung, dass Höhengerade und Mittelsenkrechte derselben Dreiecksseite IMMER parallel sind. Damit sind sie entweder gleich, oder aber im anderen Fall disjunkt, d.h., besitzen keinen gemeinsamen Punkt. In letzterem Fall können dann aber Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt nicht identisch sein - klar, warum?


Da bin ich wieder smile

Also meine Überlegung ist folgende: Wenn das Dreieck nicht gleichseitig ist, dann gibt es eine Seite, in der Höhe und Mittelsenkrechte nicht identisch sind. Dann können Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt auch nicht zusammenfallen.
Mir fehlt nur gerade ein vernünftiges Argument, warum Höhe und Mittelsenkrechte nicht identisch sind verwirrt
Also der Ansatz wäre ja zu sagen dass es einen Winkel gibt, der nicht groß ist. OBdA sei dies der Winkel am Punkt mit der gegenüberliegenden Seite . Die Mittelsenkrechte auf geht nun nicht durch den Punkt . Aber warum?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, es ist alles soweit geklärt? Dein Ziel war doch

Zitat:
Original von Malcang
Zeigen Sie, daß in ABC der Höhenschnittpunkt genau dann mit dem Umkreismittelpunkt zusammenfällt, wenn das Dreieck gleichseitig ist.

Die Rückrichtung ist trivial, es geht also nur noch darum, aus zu folgern, dass das Dreieck gleichseitig ist.

Mit der von mir erwähnten Vorüberlegung bedeutet nun aber zwingend, dass Höhe und zugehörige Mittelsenkrechte identisch sind, und zwar bei allen drei solchen Paaren. Und da aus aus Symmetrieüberlegungen ja folgt, und aus entsprechend , so haben wir doch die Gleichseitigkeit.

Du scheinst dich in irgendwelchen anderen Sachen zu verzetteln - ich weiß nicht, welche.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Bitte dies vermeiden, da sonst der Thread unübersichtlich wird.

Ok, die Lösung ist natürlich so bündig aufgeschrieben, dass keine Fragen mehr offen bleiben. Denn du hattest Recht, ich habe mich in der Tat in zu vielen Gedanken auf einmal verzettelt. Aber deine Lösung werde ich nochmal sauber aufschreiben und dann hat sich das auch in meinen Kopf eingebrannt.

Super, HAL, vielen Dank! Freude
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

ich hoffe es ist ok, wenn ich diesen Thread nochmal auffrische, da ich mich mit der gleichen Aufgabe befasse, allerdings anderen Aufgabenteilen.

Die erste von zwei Fragen ist:
Zitat:
Angenommen, in fällt der Schwerpunkt mit dem Höhenschnittpunkt zusammen.Muß dann gleichseitig sein?


Hier werden Kleinbuchstaben verwendet, da die Punkte als Vektoren beschrieben werden. Außerdem meint den Tangens des Winkel bei .Wir haben nun diese Formeln:
[attach]55449[/attach]

Aus folgt .
Da hier also eine Linearkombination von Vektoren vorliegt, liefert ein Koeffizientenvergleich und dies ist im Bereich nur möglich, wenn alle Winkel betragen.
Den Fall, dass ein Winkel beträgt, müsste ich mir nochmal überlegen.

Ist das so ok? Elementargeometrisch bekomme ich leider kein gutes Argument hin.

Die zweite Frage ist:
Zitat:
Angenommen, in fällt der Schwerpunkt mit dem Umkreismittelpunktzusammen.Muß dann gleichseitig sein?


Hier weiß ich leider gar keinen brauchbaren Ansatz verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte dazusagen, dass du hier mit Baryzentrischen Koordinaten argumentierst. Das beinhaltet Linearkombinationen von Vektoren, aber in besondere Weise: Sind die Ortsvektoren der drei Eckpunkte eines echten (d.h. nicht entarteten) Dreiecks, so ist die Darstellung eines jeden Punktes der Dreiecksebene in Form von mit reellen Zahlen möglich und zudem auch eindeutig, wenn man diese Summenforderung stellt.

Genau diese Eindeutigkeit nutzt du in deiner Argumentation.


Es geht aber auch elementarer, ähnlich wie oben im Thread beim ersten Beweis: Wir halten fest, dass der Schwerpunkt IMMER im Inneren des Dreiecks liegt, d.h. nie auf dem Rand oder außerhalb (was bei Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt ggfs. möglich ist).

1) Seitenhalbierende und Höhe auf derselben Seite gehen vom selben Dreieckseckpunkt aus. Während die Höhe immer senkrecht auf der Seite auftrifft, ist das bei der Seitenhalbierenden genau dann der Fall, wenn die benachbarten Seiten gleich lang sind. Ist das nicht der Fall, so haben beide Geraden nur den Eckpunkt gemeinsam, der aber gewiss nicht der Schwerpunkt sein kann - daher sind in diesem Fall Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt verschieden.

2) Seitenhalbierende und Mittelsenkrechte derselben Seite treffen im Mittelpunkt der Seite zusammen. Während die Mittelsenkrechte immer senkrecht auf der Seite auftrifft, ist das bei der Seitenhalbierenden genau dann der Fall, wenn die benachbarten Seiten gleich lang sind. Ist das nicht der Fall, so haben beide Geraden nur den Seitenmittelpunkt gemeinsam, der aber gewiss nicht der Schwerpunkt sein kann - daher sind in diesem Fall Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt verschieden.

Wie du siehst, habe ich per Copy+Paste fast dieselbe Argumentation in beiden Fällen nehmen können, nur dass der Bezugspunkt einmal der Eckpunkt und das andere mal der Seitenmittelpunkt war.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen HAL 9000,

vielen Dank für diese sehr ausführliche Antwort.

Mit den baryzentrischen Koordinanten beschöftigt sich das Skript auch, allerdings erst etwas später. Aber da es ja zur Argumentation passt, wird sich die Aufgabe damit lösen lassen und ist ein guter Punkt, um es zu lernen.

Die elementargeometrische Argumentation habe ich noch cniht ganz nachvollziehen können. Das liegt aber daran, dass ich gerade weder Ruhe, noch Papier und Stift habe Big Laugh Ich schaue mir das gleich nochmal in Ruhe an und sage an dieser Stelle schonmal vielen, vielen Dank! Freude
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder.
Ich hoffe im übrigen dass es "richtig" ist, wenn ich jetzt eine neue Antwort erstelle, statt den vorherigen Beitrag zu editieren. Ich glaube nämlich, dass man beim Editieren nicht mehr benachrichtigt wird, obwohl ja "Aktivität" stattfindet.

HAL 9000, ich habe die elemtargeometrische Argumentation nachvollzoegen. Eine Sache fällt mir allerdings gerade schwer, nämlich der Beweis, dass die Seitenhalbierende genau dann senkrecht auf die Seite steht, wenn die benachbarten Seiten gleichlang sind. Gibt es da ein einfaches Argument?

Edit:
Ah ja, das müsste doch leichter sein als ich dachte.

Behauptung: Die Seitenhalbierende der Seite im Dreieck steht genau dann senkrecht auf , wenn gilt.

Beweis:
Falls , so gilt und damit .

Nehme nun an, es gelte . Bezeichne den Mittelpunkt der Seite . Es ist dann . Damit sind die Dreiecke und kongruent nach SWS. Also ist und damit .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zusammenhang mit der Euler-Geraden eines Dreiecks lernt man, daß für die Ortsvektoren von Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt die Beziehung



besteht. Ist eine der drei Größen gleich einer der beiden andern, so wegen dieser Beziehung auch gleich der dritten. Es gibt daher nur die Fälle

oder

Wegen liegen im ersten Fall die drei Punkte auf einer Geraden, eben der Euler-Geraden, so daß der Schwerpunkt die Strecke zwischen Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt im Verhältnis 1:2 teilt. Im zweiten Fall kann ich die Argumentation von HAL wiederholen, etwa für : Das bedeutet zunächst, daß alle drei Mittelsenkrechten und alle drei Höhengeraden durch denselben Punkt gehen. Wäre nun die Mittelsenkrechte einer Seite nicht eine Symmetrieachse des Dreiecks, so wären die Mittelsenkrechte und Höhengerade dieser Seite disjunkt, könnten also nicht durch denselben Punkt gehen. Somit ist diese Mittelsenkrechte eine Symmetrieachse des Dreiecks. Die Argumentation gilt für jede der drei Mittelsenkrechten, daher ist das Dreieck gleichseitig.

Es gibt also nur den Fall "schief" (Euler-Gerade existiert) oder "vollkommene Harmonie", also Gleichseitigkeit (Euler-Gerade existiert nicht). "Ein bißchen hübsch" im Sinne davon, daß nur zwei der drei charakteristischen Punkte zusammenfallen, geht nicht.

[attach]55453[/attach]
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »