Topologie: Kompaktheit der m-Sphäre

02.05.2022, 19:22

Namenloser324

Topologie: Kompaktheit der m-Sphäre

Eine weitere Frage die mich umtreibt.
Es wird auf dem aktuellen Übungsblatt gefragt, wieso $\begin{eqnarray*} S^m := \{p \in \mathbb{R}^{m+1}| ||p||_2 = 1\} \end{eqnarray*}$ kompakt ist. Als Teilmenge des R^(m+1) ist dies offensichtlich, da sie abgeschlossen und beschränkt und damit nach dem Überdeckungssatz von Heine-Borel kompakt ist. Hier wird jedoch die Sphäre als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie betrachtet. In welchem Kontext gilt Heine-Borel eigentlich, d.h. welche Topologie setzt das voraus? Bei Wikipedia steht dazu nichts.

Ferner: Die Beschränktheit ist denke ich klar, bliebe nur die Abgeschlossenheit. Diese wäre mit Heine-Borel doch trivial, wenn ich mich nicht täusche, da das Komplement von S^m bezüglich der Teilraumtoplogie, die leere Menge, abgeschlossen ist. Das erscheint mir aber seltsam.

Meine idee wäre ansonsten zu sagen, dass jede endliche Teilüberdeckung von S^m als Teilmenge des R^(n+1) geschnitten mit den Mengen der Teilraumtoplogie von S^m wieder eine endliche (offene) Überdeckung von S^m bezüglich der Teilraumtoplogie ist. Dann folgt aber die Kompaktheit leicht.

Irre ich mich hier? Auch würde mich wirklich die Bedingungen für die Gültigkeit von Heine-Borel interessieren.

Vielen Dank!

02.05.2022, 19:43

IfindU

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RE: Topologie: Kompaktheit der m-Sphäre

Zitat:

Original von Namenloser324
In welchem Kontext gilt Heine-Borel eigentlich, d.h. welche Topologie setzt das voraus? Bei Wikipedia steht dazu nichts.

Die Voraussetzungen sind schon fast implizit in den Voraussetzungen. In einem topologischen Raum gibt es keinen Begriff von Beschränktheit. Kann es auch nicht: Für jede Metrik gibt es eine beschränkte Metrik, welche die gleiche Topologie induziert. Wikipedia sagt auch, dass Heine-Borel für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann es trivial verallgemeinern zu endlich-dimensionalen Banachräumen, aber es braucht definitiv zwei sehr starke Eigenschaften: Endlich-Dimensionalität und eine Norm. Vollständigkeit kommt als Sahnehäubchen drauf. Und das ist für abgeschlossene Teilmengen der Raumes normalerweise geschenkt, nicht jedoch wenn du den Raum künstlich kleiner machst, siehe das folgende Beispiel:

Zitat:

Original von Namenloser324
Ferner: Die Beschränktheit ist denke ich klar, bliebe nur die Abgeschlossenheit. Diese wäre mit Heine-Borel doch trivial, wenn ich mich nicht täusche, da das Komplement von S^m bezüglich der Teilraumtoplogie, die leere Menge, abgeschlossen ist. Das erscheint mir aber seltsam.

Richtig. Jede topologische Raum ist in sich abgeschlossen. Das Argument würde dann auch für $\begin{eqnarray*} (0,1] \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ funktionieren und da ist offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} (1/n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ keine konvergente Teilfolge hat.

Zitat:

Original von Namenloser324
Meine idee wäre ansonsten zu sagen, dass jede endliche Teilüberdeckung von S^m als Teilmenge des R^(n+1) geschnitten mit den Mengen der Teilraumtoplogie von S^m wieder eine endliche (offene) Überdeckung von S^m bezüglich der Teilraumtoplogie ist. Dann folgt aber die Kompaktheit leicht.

Irre ich mich hier? Auch würde mich wirklich die Bedingungen für die Gültigkeit von Heine-Borel interessieren.

Vielen Dank!

Das klingt nach einer guten Idee. Du musst also von einer Überdecking von $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} S^m \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m+1} \end{eqnarray*}$ finden, welche offen bzgl. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m+1} \end{eqnarray*}$ ist. Dann kannst du Heine-Borel anwenden und musst noch argumentieren, wie du hieraus eine endliche Teilüberdeckung deiner initialen Überdeckung herleiten kannst.

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