Paarweise Teilerfremdheit von 5 Polynomen (ggT, Euklidischer Algorithmus) |
| 02.05.2022, 20:12 | Baron Kleinfuß | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Paarweise Teilerfremdheit von 5 Polynomen (ggT, Euklidischer Algorithmus) Hallo zusammen! Aufgabe: Zeigen Sie: Wenn k eine ganze Zahl ist, dann sind 6k?1, 6k+1, 6k+2, 6k+3 und 6k+5 paarweise teilerfremd. Meine Ideen: Mein Ansatz: Sie sind paarweise teilerfremd, wenn alle (5 über 2) = 10 möglichen Paare teilerfremd sind, also der ggT jeweils = 1 ist. Hieraus ergeben sich für mich zwei Fragen: 1. Gibt es einene "saubereren" Ansatz, bei dem man nicht 10x den Euklidischen Algorithmus anwenden muss? Allgemein den ggT(6k+a,6k+b) zu berechnen und dann irgendwie auf die 5 Polynome zu übertragen, führte mich bisher nicht weiter. 2. Online-Rechner haben mir leider beim Euklidischen Algorithmus nicht geholfen, da diese nur normale Zahlen zulassen und/oder (im Falle Wolframalphas) keinen Rechenweg mitgeben. Wenn ich beispielsweise folgendes berechne: 6k+1 = 1 * (6k-1) + 2 6k-1 = 3k * 2 + (-1) 2 = (-2) * (-1) + 0 Dann ist der ggT(6k+1,6k-1) = -1, also eine negative Zahl und nicht 1. Ebenfalls lässt sich so nicht der ggT von beispielsweise 6k+2,6k+5 berechnen, ohne Brüche ö.Ä. zu verwenden. Ich würde mich über jeden Hinweis, Tipp oder jede Lösung freuen! 
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| 02.05.2022, 22:29 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau genommen reicht fast die eine Regel ggT(a,b) = ggT(a,b-a) für fast alles. Listen wir mal diese Differenzen b-a für alle 10 möglichen Kombinationen a,b: Die Zahlen 6k-1, 6k+1 und 6k+5 sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar, daher folgt für die sofort aus den genannten Differenz-Tabellenwerten der ggT=1. 6k+2 = 2(3k+1) ist durch 2, aber nicht durch 3 teilbar. In zugehöriger Zeile/Spalte tauchen nur 1 bzw. 3 auf, daher auch hier ggT=1. 6k+3 = 3(2k+1) ist durch 3, aber nicht durch 2 teilbar. In zugehöriger Zeile/Spalte tauchen nur 1, 2 bzw. 4 auf, daher auch hier ggT=1. |
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