Linear abhängig/kollinear/komplanar

03.05.2022, 08:08	dummbie	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear abhängig/kollinear/komplanar Meine Frage: Meine Frage bezieht sich auf die Begrifflichkeiten. Ich möchte 1. kurz klären, ob ich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede richtig verstehe 2. das Überprüfen von lin. abh. besprechen. Unter kollinearen Vektoren verstehe ich zwei Vektoren, die paralle verlaufen. (Einer ist als Vielfachen des anderen darstellbar) Man nennt dies auch linear abhängig. Unter komplanar versteht man, wenn ein Vektor als Linearkombination von zwei anderen darstellbar ist. Sie liegen also in einer Ebene. ra+sb = c (wobei a, b und c Vektoren sein sollen) Auch das nennt man dann linear abhängig. Ist also "linear abhängig" einfach der Oberbegriff für die Abhängigkeit, einmal im zweidimensionalen (kollinear) und einmal im dreidimensionalen (komplanar)??? Oder muss man das noch anders auffassen??? Meine Ideen: Zu 2. Lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren würde ich jetzt so prüfen, in dem ich berechne, ob es für ra+sb = c (wobei a, b und c Vektoren sein sollen) eine Lösung gibt. Ich habe aber jetzt schon mehrfach gesehen, dass es anders gerrechnet wurde, nämlich: ra+sb+tc = 0 Ist dies nur ein alternativer Ansatz oder berechne ich hier etwas anderes? Danke für die Hilfe.
03.05.2022, 10:05	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linear abhängig/kollinear/komplanar Grundsätzlich kannst Du Dir den Zusammenhang kollinear/komplanar/Vielfache voneinander/linear unabhängig wie von Dir beschrieben merken. Ich empfehle aber gern, bezüglich Vektoren Formulierungen wie „parallel“ oder „liegen in einer Ebene“ zu vermeiden. Da ein Vektor Repräsentant aller gleich langer, gleich gerichteter Pfeile ist, kann ich zwei solche Pfeile parallel malen, aber es ist dennoch zweimal derselbe Vektor. Man sollte also „reale“ Objekte (Geraden, Ebenen, Kugeln usw.), die sich an einem bestimmten Ort im Raum befinden, und die Vektoren, die sie beschreiben, getrennt halten. Sind mindestens 3 Vektoren gegeben, ist noch zu unterscheiden, ob diese linear unabhängig als Satz sind oder (nur) paarweise linear unabhängig. Allgemein gilt: Die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig (als Satz), wenn die Gleichung $\begin{eqnarray} r\vec{a} +s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray} (r,s,t)=(0,0,0) \end{eqnarray}$ hat. Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gibt es unendlich viele Lösungen, darunter auch für $\begin{eqnarray} r\vec{a} +s\vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t=-1 \end{eqnarray}$ . Dies ist also nur ein alternativer Spezialfall. Was in der Schule vielleicht weggelassen wird: Mit der allgemeinen Gleichung kannst Du jetzt überprüfen, ob ein einzelner Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ linear abhängig ist.

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