Regressionsmodell - Summenzeichen

03.05.2022, 12:49

FH22

Regressionsmodell - Summenzeichen

Hallo,
Zunächst sollte man in meiner Aufgabe anhand folgender Werte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}=25 ,\sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}^2=76,1; \sum\limits_{n=1}^{8} y_{i}=56, \sum\limits_{n=1}^{8} y_{i}^2=404, \sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}*y_{i}=170,3 \end{eqnarray*}$ die Regressionsgerade bestimmen.
Die Regressionsgerade für die vorliegenden Angaben lautet bei mir $\begin{eqnarray*} y_{i} Dach=-0,25+2,32*x_{i} \end{eqnarray*}$
Zur Ermittlung der Regressionsgerade wurden bereits die Mittelwerte ermittelt. Der Mittelwert von x ist 3,125 und der Mittelwert von y 7.
Im weiteren Verlauf der Aufgabe ist nach $\begin{eqnarray*} y_{i} Dach \end{eqnarray*}$ mit i=1,2,...,8 , $\begin{eqnarray*} Epsilon_{i} \end{eqnarray*}$ mit i=1,2,3,...,8 und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{8} Epsilon Dach_{i}^2 \end{eqnarray*}$ gefragt. $\begin{eqnarray*} Epsilon_{i} \end{eqnarray*}$ ist hierbei der Schätzungsfehler.
Mein Problem liegt nun darin, dass ich nicht verstehe, welchen Wert oder Werte ich für $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ einsetzen muss. Nimmt man einfach die 25 von oben oder wie kommt man auf die Werte für $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank im Voraus!

03.05.2022, 13:15

HAL 9000

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RE: Regressionsmodell - Summenzeichen

Zitat:

Original von FH22
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}=25 ,\sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}^2=76,1 \end{eqnarray*}$

Irgend etwas stimmt mit diesen deinen gegebenen Zahlen nicht: Laut diesen Werten besitzt die x-Stichprobe eine Varianz von

$\begin{eqnarray*} s_x^2 = \frac{1}{7}\left[ \sum_i x_i^2 - \frac{1}{8}\left( \sum_i x_i\right)^2 \right] \approx -0.289 \end{eqnarray*}$

Auwei... Teufel

03.05.2022, 13:33

FH22

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Der Professor hat aus Affekt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}=24 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{8} x_{i}=25 \end{eqnarray*}$ umgeändert, da wir zunächst bei einer andere Aufgabe mit nahezu identischen Werten die Korrelation berechnet hatten. Er hat wahrscheinlich in dem Augenblick nicht richtig nachgedacht. Darum kann es sein, dass die Aufgabe aus mathematischer Sicht vielleicht etwas unlogisch ist. Die vorliegenden Werte sind auf jeden Fall die Werte, die uns der Prof so mitgegeben hat.

Wie würde man den theoretisch auf die xi-Werte kommen, wenn die Aufgabe korrekt gestellt worden wäre?

03.05.2022, 13:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von FH22
Darum kann es sein, dass die Aufgabe aus mathematischer Sicht vielleicht etwas unlogisch ist.

Streichen wir "vielleicht etwas unlogisch" und ersetzen es durch "mathematisch unmöglich". Meinetwegen rechne mit dem ursprünglichen 24, aber so wie oben macht es überhaupt keinen Sinn weiter zu rechnen.

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Mit den Mittelwerten $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_i x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{y} = \frac{1}{n} \sum_i y_i \end{eqnarray*}$ , den empirischen Varianzen $\begin{eqnarray*} s_x^2 = \frac{1}{n-1}\left[ \sum_i x_i^2 - n\cdot \bar{x}^2 \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_y^2 = \frac{1}{n-1}\left[ \sum_i y_i^2 - n\cdot \bar{y}^2 \right] \end{eqnarray*}$ sowie der Kovarianz $\begin{eqnarray*} s_{xy} = \frac{1}{n-1}\left[ \sum_i x_i y_i - n\cdot \bar{x}\cdot\bar{y} \right] \end{eqnarray*}$ folgt für die Regressionsgerade $\begin{eqnarray*} \hat{y} = ax + b \end{eqnarray*}$ die Formeln $\begin{eqnarray*} a = \frac{s_{xy}}{s_x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \bar{y}-a\bar{x} \end{eqnarray*}$ , und schließlich für die Fehlerquadratsumme $\begin{eqnarray*} \sum_i \varepsilon_i^2 = (n-1)\left[ s_y^2 - \frac{s_{xy}^2}{s_x^2}\right] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von FH22
wie kommt man auf die Werte für $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn sie nicht direkt gegeben sind, sondern nur indirekt durch die oben angegebenen Summen, dann kommt man GAR NICHT auf die einzelnen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , und damit natürlich auch nicht an die einzelnen Schätzwerte $\begin{eqnarray*} \hat{y}_i=ax_i+b \end{eqnarray*}$ . Allerdings kommt man auf die Summe der Fehlerquadrate $\begin{eqnarray*} \sum_i \varepsilon_i^2 = \sum_i \left(\hat{y}_i-y_i\right)^2 \end{eqnarray*}$ , siehe oben.

03.05.2022, 15:35

FH22

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Erst einmal danke für die ausführliche Hilfe. Die Regressionsgerade müsste nach meinem Berechnungen damit richtig sein. Nun habe ich nur noch das Problem bei der Formel $\begin{eqnarray*} \sum_i \varepsilon_i^2 = (n-1)\left[ s_y^2 - \frac{s_{xy}^2}{s_x^2}\right] \end{eqnarray*}$ wie ich zum $\begin{eqnarray*} {s_{xy}^2} \end{eqnarray*}$ gelange?
Entspricht $\begin{eqnarray*} {s_{xy}^2}/{s_x^2} \end{eqnarray*}$ bei dieser Foreml (yi Dach)^2 oder wie kommt man auf diese Formel? Mir ist nicht ganz klar, woraus man diese Formel herleitet.

03.05.2022, 15:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von FH22
Die Regressionsgerade müsste nach meinem Berechnungen damit richtig sein.

Wenn du mit 24 rechnest? Mit den obigen 25 gibt es keine vernünftige Regressionsgerade, weil die Daten schlicht ungültig sind.

$\begin{eqnarray*} s_{xy}^2 \end{eqnarray*}$ ist schlicht das Quadrat der Kovarianz $\begin{eqnarray*} s_{xy} \end{eqnarray*}$ (die Formel dafür steht oben), was denn sonst?

Man kann die Fehlerquadratsumme auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum_i \varepsilon_i^2 = (n-1)s_y^2 \left(1-r_{xy}^2\right) \end{eqnarray*}$ mit Korrelationskoeffizient $\begin{eqnarray*} r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y} \end{eqnarray*}$ .

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