Satz von Tschebyschew

03.05.2022, 13:41	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Tschebyschew Hallöchen ich versuche gerade den Satz von Tschebyschew zu verstehen. Es wurde mittels binomischer Formel bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} cos(n\theta)=\sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n\\ 4l \end{pmatrix} cos(\theta)^{n-4l}\cdot (1-cos^2(\theta))^ {2l}- \sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n\\ 4l+2 \end{pmatrix} cos(\theta)^{n-4l-2}\cdot (1-cos^2(\theta))^{2l+1} \end{eqnarray}$ jetzt soll $\begin{eqnarray} cos(n\theta) \end{eqnarray}$ dargestellt werden als $\begin{eqnarray} cos(n\theta)=c_ncos(\theta)^n+c_{n-1}cos(\theta)^{n-1}+...+c_0 \end{eqnarray}$ und nun soll klar sein, dass $\begin{eqnarray} c_n=\sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n \\ 4l \end{pmatrix} +\sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n \\ 4l+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ leider ist mir nicht ganz klar wie wir auf dieses c_n kommen ... könnte mir das jemand erklären?
03.05.2022, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} \left(1-z^2\right)^{2l} \end{eqnarray}$ ergibt nach Binomischen Satz ausmultipliziert ein Polynom in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} 4l \end{eqnarray}$ , das höchste Glied ist dabei $\begin{eqnarray} z^{4l} \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} \left(1-z^2\right)^{2l+1} \end{eqnarray}$ ergibt nach Binomischen Satz ausmultipliziert ein Polynom in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} 4l+2 \end{eqnarray}$ , das höchste Glied ist dabei $\begin{eqnarray} -z^{4l+2} \end{eqnarray}$ . In beides setze $\begin{eqnarray} z=\cos(\theta) \end{eqnarray}$ ein, und dann denke nochmal nach...
03.05.2022, 14:22	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja prima so seh ich 's auch. die nächste Frage wäre dann, wenn wir dieses c_n haben, wieso gilt $\begin{eqnarray} c_n=\sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n \\ 4l \end{pmatrix} +\sum\limits_{l\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n \\ 4l+2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k\geq 0}^{} \begin{pmatrix} n \\ 2k \end{pmatrix}=2^{n-1} \end{eqnarray}$ die erste und zweite gleichung sind mir jetzt klar, aber die letzte ...? Wie komme ich auf 2^{n-1} ? ich vermute dass dahinter ein kombinatorisches Argument steckt...
03.05.2022, 14:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 2^n = (1+1)^n + (1-1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k = 2\sum_{l\geq 0} \binom{n}{2l} \end{eqnarray}$ , letzteres wegen $\begin{eqnarray} 1+(-1)^k = \begin{cases} 2 &\;\mbox{ für gerade }k=2l\\ 0 &\;\mbox{ für ungerade }k=2l+1\end{cases} \end{eqnarray}$ .
03.05.2022, 16:57	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
ah sehr nice, eleganter trick. Danke!

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