Linear abhängig

04.05.2022, 11:45	skillo	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear abhängig Meine Frage: Sei g ? G(?^2) und sei P, Q ? g verschieden. Beweisen Sie, dass P, Q genau dann linear abhängig sind, wenn 0 ? g. Meine Ideen: Habe leider keinen Ansatz, wäre dankbar, wenn jemand einen geben kann
04.05.2022, 12:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich ist das völlig klar, mach eine Skizze, und denke darüber nach.
04.05.2022, 14:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine ausgesprochen elegante Bewältigung der vorgelegten Aufgabe findet sich mit der Plückerform einer Geraden wie von selbst. Es sind $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ genau dann linear abhängig, wenn ihr äußeres Produkt verschwindet, wenn also die Gleichung $\begin{eqnarray} P\wedge Q = 0 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Eine Gerade stellt sich in Plückerform als $\begin{eqnarray} \mathbf g = \{X\mid (P-X)\wedge (P-Q) = 0\} \end{eqnarray}$ dar. Dementsprechend gilt $\begin{eqnarray} 0\in\mathbf g \iff (P-0)\wedge (P-Q) = 0\iff P\wedge Q=0 \end{eqnarray}$ aufgrund der Bilinearität des äußeres Produktes und $\begin{eqnarray} P\wedge P = 0. \end{eqnarray}$
04.05.2022, 16:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Ergänzung. Für jemanden, der mit äußerer Algebra nicht vertraut ist, würde sich die folgende alternative Formulierung anbieten, die lediglich die Arithmetik komplexer Zahlen in Anspruch nimmt. Fasst man die Vektoren per $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = x+yi \end{eqnarray}$ als komplexe Zahlen auf, kann die lineare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ als Bedingung $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(\overline PQ)=0 \end{eqnarray}$ charakterisiert werden, die äquivalent zu $\begin{eqnarray} P\wedge Q = 0 \end{eqnarray}$ ist. Die Beschreibung der Gerade nimmt damit die Gestalt $\begin{eqnarray} \mathbf g = \{Z\in\mathbb C\mid \operatorname{Im}((\overline{P-Z})(P-Q)) = 0\} \end{eqnarray}$ an. Die Argumentation nimmt die Gestalt $\begin{eqnarray} 0\in\mathbf g \iff 0 = \operatorname{Im}((\overline{P-0})(P-Q)) = \operatorname{Im}(\overline PP-\overline PQ) = -\operatorname{Im}(\overline PQ) \end{eqnarray}$ an, wobei die letzte Gleichung gilt, weil $\begin{eqnarray} \overline PP = \|P\|^2 \end{eqnarray}$ rein reell ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »