Unleserlich! Äquivalenzrelation beweisen

04.05.2022, 20:56	linuschki	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation beweisen Meine Frage: Seien a,b ? ?. ?? Beweisen Sie die Aquivalenz: a\|b ? T(a) ? T(b) Dabei ist T(a) bzw. T(b) die Teilermenge von a bzw. b. Meine Ideen: Ich komme leider absolut überhaupt nicht auf Ansatz oder Lösung?
04.05.2022, 21:57	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition ist $\begin{eqnarray} a\|b \iff (\exists m\colon b=am), \end{eqnarray}$ wobei ein $\begin{eqnarray} m\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ gemeint ist. Die Teilermenge ist über $\begin{eqnarray} n\in T(a)\iff n\|a \end{eqnarray}$ definiert. Du willst nun $\begin{eqnarray} a\|b \iff T(a) \subseteq T(b) \end{eqnarray}$ zeigen. Komplette Expansion bezogen auf die Definitionen ist hier recht zielführend, da kommt $\begin{eqnarray} (\exists m\colon b=am)\iff (\forall n\colon (\exists x\colon a=nx)\implies (\exists y\colon b=ny)) \end{eqnarray}$ bei raus. »Links impliziert rechts« sollte nicht schwierig sein. Für »rechts impliziert links« den Ansatz $\begin{eqnarray} a\|a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \exists x\colon a=ax \end{eqnarray}$ nutzen. Hierbei genügt eigentlich bereits die teilweise Expansion $\begin{eqnarray} (\forall n\colon n\|a\implies n\|b)\implies a\|b. \end{eqnarray}$

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