Hausdorff-Maß wächst für kleiner werdenden Diameter

04.05.2022, 21:34

ottohahn12

Hausdorff-Maß wächst für kleiner werdenden Diameter

Meine Frage:
Ich verstehe nicht ganz, warum das äußere Hausdorff-Maß für ein kleiner werdenden Diameter also $\begin{eqnarray*} \varepsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ wächst. Es kommt mir eher kontraintuitiv vor.

Das äußere Hausdorff-Maß ist definiert durch:
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_\varepsilon := \lbrace U \subset \mathbb{R}^n : \text{diam}(U) = \sup \Vert x - y \Vert_\infty < \varepsilon, ~ x,y \in U \rbrace \end{eqnarray*}$ daraus folgt, $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist eine Überdeckungsklasse des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ definiere die Mengenfunktion $\begin{eqnarray*} \nu_\alpha (U) = ( \text{diam}(U) )^\alpha \end{eqnarray*}$ und das äußere Hausdorff-Maß $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} (E) = \inf \lbrace \sum\limits_{j=1}^\infty ( \text{diam}(U_j))^\alpha \quad : \quad E \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty U_j, ~ U_j \in \mathcal{U}_\varepsilon \rbrace \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \leq \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon '} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \varepsilon ' < \varepsilon \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_{\varepsilon '} \subset \mathcal{U}_\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich versuche mal zu klären wie ich das äußere Hausdorff-Maß verstanden habe.

Wir haben eine Menge $\begin{eqnarray*} E \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und überdecken diese mit einer Folge von Mengen $\begin{eqnarray*} (U_j)_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , wobei diese Mengen einen Diameter kleiner Epsilon haben. Es gibt also mehrere Möglichkeiten bzw. Folgen von Mengen um die Menge $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zu überdecken. Jetzt bestimmten wir quasi das Volumen der Folgenglieder und summieren diese auf. Von diesen Summen nehmen wir nun das Infimum und haben damit unser äußeres Maß.

Nach meiner Ansicht nimmt jetzt mit einem kleiner werdenden Epsilon die Anzahl an Möglichkeiten der Überdeckung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ab, aber müsste damit nicht auch $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ kleiner werden und sich $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ immer mehr dem Volumen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ annähern?

05.05.2022, 09:01

IfindU

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RE: Hausdorff-Maß wächst für kleiner werdenden Diameter

Zitat:

Original von ottohahn12
Nach meiner Ansicht nimmt jetzt mit einem kleiner werdenden Epsilon die Anzahl an Möglichkeiten der Überdeckung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ab, aber müsste damit nicht auch $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ kleiner werden und sich $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ immer mehr dem Volumen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ annähern?

Bis hierhin richtig. Je weniger Möglichkeiten du hast, desto größer wird das Infimum! Wenn wir $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ haben, gilt $\begin{eqnarray*} \inf A \geq \inf B \end{eqnarray*}$ . Bspw. $\begin{eqnarray*} A = \{ 1,2,3\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ 0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \inf A = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \inf B =0 \end{eqnarray*}$ . Das Infimum sucht sich effektiv das kleinste Element. Je mehr Elemente drin sind, desto erfolgreicher kann er sein.

Und mit kleiner werdenden Epsilon wird die Hyperfläche immer genauer angenährt. Das Problem ist, dass große Epsilon eine sehr ungenau kleinen Wert liefern. Stell dir vor du willst $\begin{eqnarray*} [0,1] \times \{0\} \end{eqnarray*}$ eindimensional annähern. Da ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ fast egal und die Länge ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Stell dir nun vor du willst $\begin{eqnarray*} \left\{ \left(x, \frac 1 {10} \sin \frac 1 x\right): x \in (0,1) \right\} \end{eqnarray*}$ annähern. Für Epsilon = 1 kannst du einfach einen Kreis über die ganze Strecke legen und bekommst Länge 1. Wenn du jetzt kleine Epsilon nimmst, wirst du immer näher an der Kurve liegen und feststellen, dass die eine Länge deutlich größer als 1 hat.

05.05.2022, 09:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von ottohahn12
Nach meiner Ansicht nimmt jetzt mit einem kleiner werdenden Epsilon die Anzahl an Möglichkeiten der Überdeckung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ab

Exakt so ist es. D.h., es gehen WENIGER mögliche Überdeckungsfolgen $\begin{eqnarray*} \left(U_j\right)_{j=1,\ldots,\infty} \end{eqnarray*}$ in die Infimumbildung ein, womit das Infimum GRÖSSER wird.

Zitat:

Original von ottohahn12
aber müsste damit nicht auch $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ kleiner werden und sich $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ immer mehr dem Volumen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ annähern?

Du scheinst dem Irrtum zu unterliegen, dass die Zerlegungen mit den sehr kleinen $\begin{eqnarray*} U_j \end{eqnarray*}$ erst bei $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ zum Zuge kommen. Da liegst du falsch: Alle Zerlegungen $\begin{eqnarray*} \left(U_j\right)_{j=1,\ldots,\infty} \end{eqnarray*}$ des kleineren $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ waren auch schon bei dem größeren $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ dabei, dort jedoch auch noch weitere, weswegen für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ das Infimum $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dem Infimum für $\begin{eqnarray*} \varepsilon' \end{eqnarray*}$ sein muss.

05.05.2022, 09:26

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Anschaulich: Eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel kannst du mit einer $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Menge exakt überdecken. Wenn du nur kleinere $\begin{eqnarray*} \varepsilon ' \end{eqnarray*}$ -Mengen zur Verfügung hast, brauchst du davon mehrere. Die könnten sich überlappen oder über die Kugel hinausragen. Dann wäre der Inhalt größer.

11.05.2022, 11:30

ottohahn12

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Vielen Dank erstmal, dass ihr so schnell geantwortet habt. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.

Mein jetziges Verständnis:

Wir wissen, dass für zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \text{inf}(A) \geq \text{inf}(B) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_\varepsilon \end{eqnarray*}$ eine Überdeckungsklasse, d.h. alle Folgen $\begin{eqnarray*} (U_j)_{j=\mathbb{N}} \in \mathcal{U}_\varepsilon \end{eqnarray*}$ , die eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sind, wobei die Folgenlieder $\begin{eqnarray*} U_j \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ einen Diameter kleiner $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ haben.

Wenn wir jetzt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon ' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon ' < \varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen, dann gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_{\varepsilon '} \subset \mathcal{U}_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha , \varepsilon} \leq \mathcal{H}_{\alpha , \varepsilon '} \end{eqnarray*}$ .

Wir nähern uns also dieser Menge $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit unseren Überdeckungen an, allerdings brauche ich mehr Folgenglieder $\begin{eqnarray*} U_j \end{eqnarray*}$ und die Folgenglieder dieser Überdeckung werden sich teilweise überlappen und daher wird das Hausdorff-Maß für einen kleineren Diameter wachsen.

Das würde aber auch bedeuten, dass das "tatsächliche" Volumen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ ist? Wenn wir nämlich die "perfekte" Überdeckung von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hätten würden sich diese Teilmengen der Überdeckung nicht überlappen und das Volumen der Menge $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist gleich der Summe der Volumina der Teilmengen dieser Überdeckung.

Wobei eigentliche diese "perfekten" Überdeckungen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ auch in der Überdeckungsklasse liegen müssten?

11.05.2022, 13:08

HAL 9000

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Wenn ich mir deine Schilderungen und Zweifel so durchlese, dann steigt in mir der Verdacht auf, dass du hauptsächlich an den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=n \end{eqnarray*}$ denkst, also die volle Raumdimension. Es geht beim Hausdorff-Maß aber nicht nur um diesen Fall, sondern bei vielen Mengen auch und gerade um die Betrachtung gewisser $\begin{eqnarray*} \alpha < n \end{eqnarray*}$ , erst da wird es ja wirklich interessant.

Möglicherweise irre ich mich, aber im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=n \end{eqnarray*}$ scheint mir $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{n, \varepsilon}(E) \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ immer gleich groß zu sein - bei messbaren Mengen ist das einfach deren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionales Lebesguemaß bzw. bei beliebigen Mengen das zugehörige äußere Maß.

Und zur Abrundung nach der anderen Seite: Für alle $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit endlichem Volumen (bzw. endlichem äußeren Maß) ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{H}_{\alpha, \varepsilon}(E) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha> n \end{eqnarray*}$ , d.h., die Betrachtung solcher $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ dürfte weitgehend uninteressant sein.

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