Funktion für nicht äquidistante Stützstellenverteilung

05.05.2022, 09:02

Physinetz

Funktion für nicht äquidistante Stützstellenverteilung

Hallo,

ich möchte eine Kurve möglichst durch lineare Teilstücke approximieren. Gerade am Anfang ist ein großer Gradient weshalb ich hier viele Stützstellen benötige, gegen Ende hin weniger.

In einem beliebigen Intervall (z.B. 0 - 0.5) sollen 20 Punkte so verteilt sein, dass am Anfang eher viele Punkte liegen. Die Stützstellenverteilung soll dabei aber einer Funktion entsprechen.

Wenn man es mit Excel aufzieht dann wäre es mit "rumspielen":

1. Punkt: 0
2. Punkt: 0.01
3. Punkt: 0.0158
...
20. Punkt: 0.5

wobei jeder nachfolgende Punkt = vorheriger Punkt ^0.9

Sobald ich nun aber das Interval auf 0 - 0.8 ändere, müsste der Exponent oder der erste Abstand 0.01 geändert werden.

Hat jemand eine gute Idee um das automatisiert in einem Code dann umzusetzen , also unabhängig von der Intervalllänge und mit beliebiger Anzahl von Stützstellen für das Intervall?

Vielen Dank
Grüße
Physi

*Edit*

Ich mache es einfach über eine Potenzfunktion - dann erschlage ich das recht schnell :-)

Kann geschlossen werden. Danke

05.05.2022, 09:31

Steffen Bühler

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RE: Funktion für nicht äquidistante Stützstellenverteilung
Sowas Ähnliches gab's mal hier. Hilft das weiter?

Viele Grüße
Steffen

PS: Ach, Du hast es auch schon gefunden. Ich lass den Thread trotzdem mal stehen.

PPS: Oder Du machst es wie die Gitarrenbauer. Die müssen ja 12 Bünde auf dem Griffbrett so verteilen, so dass die Saitenlänge immer mit demselben Faktor abnimmt, bis die Hälfte der ursprünglichen Länge erreicht ist. Dieser Faktor ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt[12]2} \end{eqnarray*}$ . Du nimmst dann eben 20 statt 12.

05.05.2022, 15:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Physinetz
wobei jeder nachfolgende Punkt = vorheriger Punkt ^0.9

Das ist eine sehr eigenartige Wahl: Weil am Anfang die Punkte zwar enger liegen als später im Mittelteil, aber je näher man der 1 kommt liegen die Punkte bei dieser Rekursion dann wieder dichter.

------------------------------------------------------

Ok, die Vorgaben sind:

a) $\begin{eqnarray*} s(0)=0 \end{eqnarray*}$ (ich beginne bei Punkt 0 zu zählen)
b) $\begin{eqnarray*} s(n)=t \end{eqnarray*}$
c) Am Anfang sollen die Punkte "enger" zusammenliegen als später.

1) Warum nicht die gute alte Potenzfunktion? D.h. $\begin{eqnarray*} s(k) = \left( \frac{k}{n} \right)^{\alpha}\cdot t \end{eqnarray*}$ mit einem geeignet gewählten Exponenten $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ . Um mal dein erstes Beispiel zu wählen: Dort ist $\begin{eqnarray*} n=19 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t=0.5 \end{eqnarray*}$ . Nun könnte man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so wählen, dass tatsächlich $\begin{eqnarray*} s(1)=0.01 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{19}\right)^{\alpha}\cdot 0.5 = 0.01 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\ln(0.5/0.01)}{\ln(19)} \approx 1.328614 \end{eqnarray*}$

2) Oder du lässt die Abstände geometrisch wachsen, d.h. $\begin{eqnarray*} s(k+1)-s(k) = q\cdot \left(s(k)-s(k-1)\right) \end{eqnarray*}$ ? Mit Abstand $\begin{eqnarray*} a_0=s(1)-s(0) \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} s(k+1)-s(k) = a_0\cdot q^n \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} s(n) = t = a_0\cdot \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ . Zu vorgegebenen $\begin{eqnarray*} a_0=0.01 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t=0.5 \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ dann allerdings nur durch eine Näherungsverfahren ermitteln, hier wäre das $\begin{eqnarray*} q\approx 1.0978454 \end{eqnarray*}$

Die Resultate beider Varianten mal vergleichend nebeneinandergestellt:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

0	0,000	0,000
1	0,010	0,010
2	0,025	0,021
3	0,043	0,033
4	0,063	0,046
5	0,085	0,061
6	0,108	0,077
7	0,133	0,094
8	0,158	0,113
9	0,185	0,135
10	0,213	0,158
11	0,242	0,183
12	0,272	0,211
13	0,302	0,242
14	0,333	0,275
15	0,365	0,312
16	0,398	0,353
17	0,431	0,397
18	0,465	0,446
19	0,500	0,500

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