Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion in C

05.05.2022, 09:10	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion in C Halli Hallo! Hab lange nichts von mir hören lassen. Bräuchte aber wieder einmal eine zweite Meinung bei einer Aufgabe. Aufgabenstellung: Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: Sei $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{C}, f(x) = \exp_x(z) \end{eqnarray}$ ist überall stetig differenzierbar mit Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x)=z\cdot \exp_x(z-1) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich vermute mal, dass die Aussage nicht stimmt. Ich zeige das mal so, in dem ich mir den Differentialquotient unter die Lupe nehme: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^z-x^z}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom{z}{k} x^{z-k}h^k -x^z}{h} = \lim_{h \to 0} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom{z}{k}x^{z-k}h^{k-1} - \frac{x^z}{h} = \pm \infty \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar. Geht das so durch? Oder interpretiere ich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ falsch? LG Ploki
05.05.2022, 09:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Binomische Reihe beginnt bei $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ ... Ich würde über die Definition der komplexen Potenz gehen, d.h. über $\begin{eqnarray} x^z = \exp\left(\ln(x)\cdot z\right) \end{eqnarray}$ und dann Kettenregel.
05.05.2022, 10:01	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine überaus schnelle Antwort! Ui, da hat die Verwendung vom Formeleditor mir einen Fehler eingebracht. $\begin{eqnarray} k = 0 \end{eqnarray}$ ist mir bewusst, aber Danke für den Hinweis! Aber wie ist meine Argumentation sonst? Würde ich bzgl. der Kettenregel als Ableitung folgendes bekommen? $\begin{eqnarray} f'(x) = \exp(\ln(x)\cdot z)\cdot z \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Oder müsste ich in die Darstellung $\begin{eqnarray} z = a + ib \end{eqnarray}$ übergehen?
05.05.2022, 10:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das fehlende $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ ist kein bloßer Schreibfehler, sondern ändert deine Rechnung fundamental - hast du das nicht gemerkt??? $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^z-x^z}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{z}{k} x^{z-k}h^k -x^z}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^z + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom{z}{k} x^{z-k}h^k -x^z}{h} = \lim_{h \to 0} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \binom{z}{k}x^{z-k}h^{k-1} = z x^{z-1} \end{eqnarray}$ .
05.05.2022, 11:15	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das hab ich nicht bemerkt. Hätte mir aber auffallen müssen, da ja beim Fall $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ ja ein $\begin{eqnarray} h^{-1} \end{eqnarray}$ entsteht, womit ich den limes nicht so einfach vollziehen kann. Aber jetzt ist es mir klar! Vielen Dank!

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