Orthogonalräume

05.05.2022, 18:10	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalräume Hallöchen ich bin von der Aufgabe ziemlich geflashed... Kann mir vielleicht jemand noch mal in Ruhe erklären worum es hier geht?
05.05.2022, 19:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Ggf. geht es auch anderen so: Ich weiß nicht was $\begin{eqnarray} V^\perp \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle v,w \rangle \end{eqnarray}$ bedeuten soll. Offenbar beides Mengen, aber was bedeutet es genau? Edit: Wikipedia schlägt vor $\begin{eqnarray} W^\perp = \{ v \in V: b(v,w) = 0 \forall w \in W\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray}$ kónnte der zweidimensionale Vektorraum sein, aufgespannt durch die beiden Vektoren?
06.05.2022, 18:38	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Ja genau so hatten wir V orthogonal definiert und das andere ist dann wohl der Spann...
08.05.2022, 08:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Ich saß jetzt ziemlich lange dran, hab aber noch immer kein sicheres Verständnis davon. Für $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ können wir $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ wählen mit $\begin{eqnarray} b(v,w) = 1 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} b(v,v) = 0 \end{eqnarray}$ ist, sind $\begin{eqnarray} \{v,w\} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Wir können nun das zu einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ erweitern: $\begin{eqnarray} \{ v, w, u_1, u_2 \ldots, \} \end{eqnarray}$ Diese $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ müssen nicht orthogonal auf $\begin{eqnarray} v, w \end{eqnarray}$ stehen. Nun können wir diese aber alle modifizieren, so dass die Eigenschaft erfüllt ist. Definiere $\begin{eqnarray} \widetilde u_i = u_i + \lambda v + \mu w \end{eqnarray}$ . Dann bildet für alle $\begin{eqnarray} \lambda, \mu \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \{ v, w, \widetilde u_1, \widetilde u_2, \ldots \} \end{eqnarray}$ eine neue Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Wir berechnen $\begin{eqnarray} b(\widetilde u_i, v) = b(u_i, v) + \lambda b(v,v) + \mu b(w, v) = b(u_i, v) + \mu b(w, v) =b(u_i, v) - \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b(\widetilde u_i, w) = b(u_i, w) + \lambda b(v,w) + \mu b(w, w) = b(u_i, v) + \lambda \end{eqnarray}$ . D.h. mit der Wahl von $\begin{eqnarray} \lambda = -b(u_i, v) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu = b(u_i, v) \end{eqnarray}$ steht $\begin{eqnarray} \widetilde u_1 \end{eqnarray}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray} v,w \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \textrm{span} \{ u_1, u_2 \ldots \}= \textrm{span} \{ \widetilde u_1, u_2 \ldots \} \end{eqnarray}$ . Damit kann man dann eine Basis bauen. Da der Raum potentiell unendlich-dimensional ist, wird vermutlich das Auswahlaxiom notwendig sein um es sauber zu zeigen.
08.05.2022, 09:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Kann man nicht ausgehend von $\begin{eqnarray} v,w \end{eqnarray}$ den Raum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} <v,w>^\perp \end{eqnarray}$ definieren? Dann wendet man das gleiche Verfahren auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ nochmal an - wenn es denn darin ein passendes v gibt. Wenn es das nicht gibt, also jeder Vektor in $\begin{eqnarray} U\cap U^\perp \end{eqnarray}$ ist, verschwindet die Bilinearform auf dem Unterraum.
08.05.2022, 09:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume @URL Dann musst du noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle v,w \rangle^\perp \end{eqnarray}$ den restlichen Raum aufspannen, oder?
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08.05.2022, 17:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Ja. Die Idee war sowas wie "x minus Bestapproximierende steht senkrecht". Letztlich ist mir aber nichts anderes eingefallen, als den Ausdruck $\begin{eqnarray} \beta(x-\lambda_1 v-\lambda_2 w, \alpha_1 v +\alpha_2 w) \end{eqnarray}$ einzudampfen und daraus $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray}$ so zu bestimmen, dass der Ausdruck für alle $\begin{eqnarray} \alpha_1,\alpha_2 \end{eqnarray}$ Null wird.
11.05.2022, 10:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalräume Hi! vielleicht werdet ihr aus der ML schlau... ich muss mir das ganze nochmal ansehen glaub ich... Danke trotzdem für die zahlreichen Antworten! Grüßle

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