Ableitung einer Funktion zwischen Mannigfaltigkeiten

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktion zwischen Mannigfaltigkeiten
Hallo, angenommen wir haben glatte Mannigfaltigkeiten M,N und eine glatte Funktion f:M->N.
Ich weiß, dass f glatt bedeutet, dass die Koordinatendarstellung von f bezüglich zweier Karten von M und N glatt ist. Was aber versteht man dann genau unter der Ableitung f' von f?
Sei (U,x) Karte auf M und (V,y) Karte auf N,
ist dann (die Karten seien punktweise passend gewählt)? Oder welche Funktion ist genau die Ableitung von f?

Die Frage ist im Übrigen dadurch motiviert, dass ich die Glattheit einer speziellen Komposition nachweisen soll. Und Glatt <=> unendlich oft diffbar und ich wollte das über "explizites" ausrechnen nachweisen und überlege, welche Funktion denn eigentlich die Ableitung nun ist in diesem Kontext.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Matheass2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung einer Funktion zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeit entspricht am ehesten dem Pushforward.
Google einfach nach dem Begriff. Dann wirst du fündig.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

1. Anhaltspunkt: Das klassische Konzept der Ableitung ist im Allgemeinen eine lineare Abbildung.

Die Ableitung einer reellen Funktion an der Stelle ist bspw. als lineare Funktion betrachtbar, die man profan als sieht, die aber eigentlich mit ist.

Gleichermaßen verhält es sich mit einer glatten Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und Die Ableitung ist eine lineare Abbildung mit

2. Anhaltspunkt: In der Differentialgeometrie sind sämtliche Begriffsbildungen darauf ausgerichtet, dass die Kettenregel erfüllt ist. Darum setzt man die Abbildungen einfach als glatt voraus, damit man sich um Fragen zur Differenzierbarkeit keine Gedanken machen muss und den kognitiven Fluss auf interessante Prinzipien lenken kann.
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