Force majeure

05.05.2022, 21:28	fibooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Force majeure Meine Frage: Zwei Spieler A und B spielen per Münzwurf gegeneinander um einen Geldpreis. Wer zuerst 8 Runden gewonnen hat, bekommt den Geldpreis. In jeder Runde ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,5. Aufgrund unvorhergesehener Gründe muss die Spielserie vorzeitig beendet werden. (a) Wenn der Spielstand bei Abbruch 5:3 (A:B) ist: In welchem Verhältnis ist der Gewinn gerecht aufzuteilen? (b) Lösen Sie das Problem allgemein für einen Spielstand von a:b, wenn n Gewinnrunden zum Gewinn des Geldpreises erforderlich sind. Meine Ideen: a) A: $\begin{eqnarray} \frac{\binom{7}{3}+\binom{7}{4}+\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}}{2^7} = \frac{99}{128} \end{eqnarray}$ Für B analog b) Die maximal Anzahl der Spiele, die gespielt werden können, beträgt allgemein 2n-a-b-1. Dann hätte ich bei A im Zähler: $\begin{eqnarray} \sum_{i=n-a}^{2n-a-b-1} \binom{2n-a-b-1}{i} \end{eqnarray}$ und im Nenner: $\begin{eqnarray} 2^{2n-a-b-1} \end{eqnarray}$ und für B analog nur die Summe von i=0 bis n-a. Kann das so stimmen? Bin mir insbesondere bei b) unsicher. Danke
06.05.2022, 00:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Force majeure Du hast offenbar die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass A mindestens 3 der nächsten 7 Spiele gewinnt. Ich habe anders angesetzt, da noch mindestens 3 und höchstens 7 Spiele folgen würden. Damit erhalte ich ebenfalls das Ergebnis 99/128 und die alternative Summe $\begin{eqnarray} P(A)=\sum\limits_{i=n-a}^{2n-a-b-1} \begin{pmatrix} i-1 \\ n-a-1 \end{pmatrix} \frac{1}{2^{i} } \end{eqnarray}$ Da Deine Summe aber auch Deinen Weg zu a) reproduziert, sehe ich spontan keinen Fehler.
06.05.2022, 08:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
für "faule" Rechner (wie mich) Noch eine Anmerkung zu (b): Im Fall $\begin{eqnarray} a>b \end{eqnarray}$ (wie in (a)) kann man des geringeren Rechenaufwands wegen auch über das Gegenereignis gehen, d.h. $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2^{2n-a-b-1}}\sum_{i=0}^{n-a-1} \binom{2n-a-b-1}{i} \end{eqnarray}$ berechnen: Diese Summe enthält $\begin{eqnarray} n-a \end{eqnarray}$ Summanden, die andere oben ja $\begin{eqnarray} n-b \end{eqnarray}$ Summanden. In (a) wäre die Rechnung damit einfach $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2^7}\left( \binom{7}{0} + \binom{7}{1} + \binom{7}{2}\right) = 1 - \frac{29}{128} = \frac{99}{128} \end{eqnarray}$ .

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