3 Potenzgeraden schneiden sich oder sind parallel

07.05.2022, 18:01

Malcang

3 Potenzgeraden schneiden sich oder sind parallel

Hallo zusammen,
ich beschäftigte mich mit folgender Aufgabe:
[attach]55088[/attach]

Mein Ansatz zu a):

$\begin{eqnarray*} l_{12} = l_{13} \Leftrightarrow (||x-m_1||^2 - R_1^2) - (||x-m_2||^2 - R_2^2) = (||x-m_1||^2 - R_1^2) - (||x-m_3||^2 - R_3^2) \Leftrightarrow (||x-m_2||^2 - R_2^2) - (||x-m_3||^2 - R_3^2) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Dies ist ja nun die Vorschrift für $\begin{eqnarray*} l_{23}. \end{eqnarray*}$ Aus Symmetriegründen wird das ja bei $\begin{eqnarray*} l_{12} = l_{23} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_{13} = l_{23} \end{eqnarray*}$ analog verlaufen und mir jeweils die übrigbleibende Potenzgerade ergeben.
Aber nun habe ich ja auf der rechten Seite keine Aussage erhalten, die einen Schnittpunkt beschreibt, sondern "nur" die übrige Potenzgerade selber.
Ich habe das Gefühl, dass ich damit wahrscheinlich schon nahe an der Lösung bin, aber ich sehe gerade den Wald nicht vor lauter Bäumen verwirrt

07.05.2022, 19:21

Huggy

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RE: 3 Potenzgeraden schneiden sich oder sind parallel
a) ist doch trivial. Es sei $\begin{eqnarray*} \Pi_i(P) \end{eqnarray*}$ die Potenz eines Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bezüglich des Kreises $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ . Gemäß Aufgabenstellung ist bekannt, dass die Menge der Punkte, die bezüglich zweier Kreise dieselbe Potenz haben, eine Gerade bilden.

Für die Punkte $\begin{eqnarray*} P \in l_{12} \end{eqnarray*}$ gilt also

$\begin{eqnarray*} \Pi_1(P)=\Pi_2(P) \end{eqnarray*}$

und für die Punkte $\begin{eqnarray*} P \in l_{13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Pi_1(P)=\Pi_3(P) \end{eqnarray*}$

Wenn sich die beiden Geraden im Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ schneiden, gilt also

$\begin{eqnarray*} \Pi_1(S)=\Pi_2(S) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Pi_1(S)=\Pi_3(S) \end{eqnarray*}$

Aus den beiden Gleichungen folgt

$\begin{eqnarray*} \Pi_2(S)=\Pi_3(S) \end{eqnarray*}$

Also liegt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} l_{23} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} l_{23} \end{eqnarray*}$ geht auch durch diesen Punkt. Die einzige Alternative ist, dass alle drei Geraden parallel sind.

Bei b) ist nun zu zeigen, wenn zwei Kreise sich schneiden, geht ihre Potenzgerade durch die Schnittpunkte.

07.05.2022, 19:35

Malcang

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Danke Huggy für deine Zeit, aber das kann ich leider nicht nachvollziehen. Die Aufgabe davor war übrigens die folgende:
[attach]55091[/attach]

Ich hätte das wohl mit posten sollen, sorry dafür. Aber was die Potenz eines Punktes ist, wissen wir nicht unglücklich

07.05.2022, 20:04

Huggy

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In 2a) ist zu zeigen, dass die Punkte gleicher Potenz für zwei Kreise eine Gerade bilden. Das habe ich für 3a) vorausgesetzt. Wenn du 2a) gelöst hast, kannst du das also auch tun.

Die Potenz $\begin{eqnarray*} \Pi_i(P) \end{eqnarray*}$ für einen Punkt $\begin{eqnarray*} P=x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \Pi_i(P)=||x-m_i||^2-R_i^2 \end{eqnarray*}$

Für 3a) muss man das aber gar nicht wissen. Die Argumentation gilt unabhängig von der konkreten Formel. Deshalb nannte ich 3a) trivial. Du kannst aber gern bei mir oben die Potenz durch die konkrete Formel ersetzen.

07.05.2022, 21:27

Malcang

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Danke Huggy. Heute Abend schaffe ich das nicht mehr, aber morgen schaue ich mir das genau an.

Danke und schönen Abend smile

08.05.2022, 17:10

Malcang

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Da bin ich wieder smile

Mir war der Begriff der Potenz gar nicht geläufig, aber damit habe ich die a) verstanden. Vielen Dank schonmal dafür!

Zu b) habe ich mir folgendes gedacht:
Schneiden sich $\begin{eqnarray*} K1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K2 \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} ||a-m_1||^2-R_1^2 = ||a-m_2||^2-R_2^2 \end{eqnarray*}$ , und damit liegen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ auf der Potenzgeraden $\begin{eqnarray*} l_{12} \end{eqnarray*}$ .
Analog folgere ich:
$\begin{eqnarray*} c,d \end{eqnarray*}$ liegen auf $\begin{eqnarray*} l_{23} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} e,f \end{eqnarray*}$ liegen auf $\begin{eqnarray*} l_{13} \end{eqnarray*}$ .

Nach a) schneiden sich die Potenzgeraden in genau einem Punkt, dies sind ja eben die Geraden durch $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray*} cd \end{eqnarray*}$ beziehungsweise $\begin{eqnarray*} ef \end{eqnarray*}$ .
Falls sie sich nicht schneiden, dann sind sie sämtlich parallel, ebenfalls nach a).

09.05.2022, 07:24

Huggy

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Zitat:

Original von Malcang
Schneiden sich $\begin{eqnarray*} K1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K2 \end{eqnarray*}$ in den Punkten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} ||a-m_1||^2-R_1^2 = ||a-m_2||^2-R_2^2 \end{eqnarray*}$

Ja, das gilt für die Schnittpunkte. Aber du solltest schon begründen, weshalb das für die Schnittpunkte gilt, auch wenn es einfach ist.

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