Division durch Null....warum eigentlich nicht?

08.05.2022, 15:27

Malcang

Division durch Null....warum eigentlich nicht?

Der Titel ist bewusst etwas reißerisch gewählt Augenzwinkern

In der Schule lerne ich, dass die Division durch Null nicht definiert ist.
Im Studium wird mir beigebracht, dass in den reellen Zahlen jedes Element außer der Null ein eindeutiges Inverses besitzt.
Nun gut, aber dann stellt sich mir die Frage: Warum wird das in den Körperaxiomen so gefordert? Was ist der Hintergrund?

Man könnte ja sagen, unter der Division einer Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stelle ich mir vor, dass ich von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ wiederholt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abziehe. Lande ich bei Null, geht die Divison auf. Bleibt etwas übrig, muss ich mir helfen. Aber auch das geht ja bekanntermaßen.

Nun könnte ich von jeder Zahl, die nicht Null ist, unendlich oft die Null subtrahieren. Eine Division macht also damit keinen Sinn.

Aber das ist sicherlich nicht der "Grund", weshalb die Division durch Null nicht definiert ist. Denn dieser müsste sich ja schon "vor" den Körperaxiomen finden lassen.

Die Frage ist also: Was hat die Menschheit dazu bewogen, ein Inverses der Null in den Körperaxiomen auszuschließen?

08.05.2022, 16:06

Leopold

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RE: Division durch Null....warum eigentlich nicht?

Zitat:

Original von Malcang
Nun könnte ich von jeder Zahl, die nicht Null ist, unendlich oft die Null subtrahieren. Eine Division macht also damit keinen Sinn.

Genau so ist es. Du hast damit deine Frage selbst beantwortet.

08.05.2022, 16:41

Malcang

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RE: Division durch Null....warum eigentlich nicht?

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Malcang
Nun könnte ich von jeder Zahl, die nicht Null ist, unendlich oft die Null subtrahieren. Eine Division macht also damit keinen Sinn.

Genau so ist es. Du hast damit deine Frage selbst beantwortet.

Aber dieses "Prinzip" der Division kommt doch erst auf, wenn ich die Inversen definiert habe verwirrt

Daher bin/war ich der Meinung, dass könnte keine Begründung für das Ausschließen der Null sein.

09.05.2022, 17:02

mYthos

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Die Begründung liegt im Prinzip der Permanenz (Fortdauer) der formalen Rechengesetze, welche sinnvollerweise bei der Erweiterung* zum Körper** der rationalen (und später auch reellen und komplexen Zahlen) nach Möglichkeit zu fordern ist.

(*) .. der Gruppe (Z; +)
(**) .. (Q; +; *)

mY+

14.05.2022, 02:26

Pippen

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Die Division durch Null kann man problemlos definieren.
Die Division durch Null samt (Weiter-) Geltung der üblichen Rechengesetze definieren, das funktioniert nicht. Jetzt die Frage: Funktioniert das per se nie, d.h. man kann beweisen, dass es nicht klappen kann oder könnte in 3.000 Jahren ein Gödel 2.0 es mit einer genialen Idee doch schaffen?

14.05.2022, 08:11

G140522

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RE: Division durch Null....warum eigentlich nicht?

Zitat:

Nun könnte ich von jeder Zahl, die nicht Null ist, unendlich oft die Null subtrahieren.

Was soll "unendlich mal Null abziehen" bedeuten? Ein sinnfreier Satz?

Wenn ich unendlich mal nichts vom Konto abhebe, ändert sich det Kontostand nicht.
-> 100- 0-0-0-....0 = 100

100/(0+h) -> oo für h gegen 0

Wo ist der Denkfehler? Das Konto wird nicht voller!

14.05.2022, 09:05

IfindU

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RE: Division durch Null....warum eigentlich nicht?
Eine andere Sichtweise ist, dass es top ist, dass es 'nur' die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Betrachten wir die reellen Zahlen als Spezialfall von Matrizen, nämlich $\begin{eqnarray*} 1 \times 1 \end{eqnarray*}$ . Schauen wir uns $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Matrizen an, so sind plötzlich viel mehr Elemente nicht länger invertierbar, nämlich alle mit verschwindender Determinante.

Was zeichnet alle diese Elemente aus? Die Anwendung der Matrix verliert Information vom ursprünglichen Element. Bsp. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 + v_2 \\ 2(v_1 + v_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Fragen wir jetzt: Welcher Vektor hat denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ produziert, kommen wir in die Verlegenheit: War es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? In eine noch größere Verlegenheit kommen wir, wenn jemand fragt wie wir den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bekommen können. Das können wir nämlich nicht. Wir sind von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gestartet, haben unsere Abbildung drauf losgefahren und im Bild der Abbildung fehlt der Wert einfach.

Und Invertierbarkeit fragt genau nach der Eigenschaft: Kann ich von der Gleichung $\begin{eqnarray*} A x = b \end{eqnarray*}$ bei festem $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bestimmen? Es geht eben nicht immer.

Im sklaren Fall könnte man sogar noch weiter gehen $\begin{eqnarray*} a \cdot b = c \end{eqnarray*}$ . Man verliert keine Information, wenn wir für beliebige 2 Wertepaare den dritten Wert eindeutig bestimmen können. Z.B. können wir aufgrund der Wohldefiniertheit der Multiplikation vom Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ immer auf $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schließen. Können wir von $\begin{eqnarray*} (a,c) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (b,c) \end{eqnarray*}$ immer auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ schließen. Wie im obigen Beispiel ist die Antwort "Nicht immer".

Sobald das Distributivgesetz feststeht und 0 das neutrale Element der Addition und ist und additive Elemente Inverse haben folgt $\begin{eqnarray*} a \cdot 0 =0 \cdot b = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . D.h. es ist effektiv die Eigenschaft des neutralen Elements der Addition die Information unverändert zu lassen, und das übersetzt sich, wenn man auch nur die geringste Anforderung an Verbindungen zur Addition und Multiplikation stellt, dass es keine Information in der Multiplikation erhalten darf. Wenn man sich die Matrizen anschaut ist es nicht das einzige Element was Informationen verliert, aber das einzige, das sie komplett auslöscht.

15.05.2022, 15:02

Luftikus

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RE: Division durch Null....warum eigentlich nicht?

Zitat:

Original von Malcang
In der Schule lerne ich, dass die Division durch Null nicht definiert ist.
[..]
Die Frage ist also: Was hat die Menschheit dazu bewogen, ein Inverses der Null in den Körperaxiomen auszuschließen?

Schauen wir mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{0} = x \rightarrow z = 0 \cdot x \rightarrow z = 0 \end{eqnarray*}$

Also müsste auch z=0 sein.

Ist also

$\begin{eqnarray*} z = 0 \rightarrow 0 = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$ für alle x, also unbestimmt.

Fazit: durch Null teilen macht nur Sinn, wenn der Zähler auch 0 ist. Aber dann ist 0/0 unbestimmt.
Daher macht es generell keinen Sinn durch Null zu teilen.

PS: Grenzwertbetrachtungen sind hiervon zu unterscheiden. Da kommt es auf die Grenzwertbildung an.

21.05.2022, 12:45

Malcang

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Vielen Dank für euren Input. Insbesondere die Verallgemeinerung auf Matrizen fand' ich interessant zu sehen Freude

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