Endliche natürliche Zahl

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09.05.2022, 11:15	Kmn22	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche natürliche Zahl Meine Frage: Hallo zusammen, ich möchte mathematisch darstellen, dass es eine endliche Natürliche Zahl existiert. Wie kann ich das am besten machen? Meine Ideen: Ich hatte zunächst $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ geschrieben, aber das ist ja schwachsinnig, weil die natürlichen Zahlen ja nicht beschränkt sind. Kann ich stattdessen sowas schreiben wie: Sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Zahl? Oder ist das ein Widerspruch, da ich ja $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ schreibe?
09.05.2022, 11:21	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkt oder unbeschränkt können nur Mengen sein. Die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt. Jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ist ein Element der Menge. Von Beschränktheit oder Endlichkeit zu sprechen macht daher keinen Sinn.
09.05.2022, 11:27	Kmn22	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dass verstehe ich. Wie kann ich das mathematisch dann darstellen? Ich möchte folgendes schreiben: Es gibt eine natürliche Zahl, aber die soll halt nicht unendlich groß sein. Vllt. so: Sei $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb{N} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Menge und $\begin{eqnarray} n \in M \end{eqnarray}$ Geht das so? Oder ist das ebenfalls widersprüchlich?
09.05.2022, 11:33	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ehrlich gesagt nicht, worauf du hinauswillst. Jede natürliche Zahl ist per se nicht unendlich groß. Nimmst du dir also eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , so wirst du immer eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n' \end{eqnarray}$ finden, die größer ist: $\begin{eqnarray} \forall n\in\mathbb N \exists n'\mathbb N: n'> n \end{eqnarray}$
09.05.2022, 11:47	Kmn22	Auf diesen Beitrag antworten »
Also passt es, wenn ich einfach nur $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ schreibe? Vllt. noch präziser: Es gibt eine gewisse Anzahl an Objekten, welche allerdings nach oben beschränkt ist. Diese Objekte bezeichne ich mit den natürlichen Zahlen. Das heißt: Objekt 1 -> 1 Objekt 2 -> 2 . . . Objekt n -> n Es kann aber nicht unendlich viele Objekte geben, dass heißt die Anzahl der Objekte ist nach oben beschränkt. Passt es also, wenn ich dann einfach schreibe: Seien $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Objekte gegeben? Ich bin immer noch der Meinung, dass das falsch ist, weil die Natürlich Zahlen nach oben nicht beschränkt sind, oder sehe ich das falsch?
09.05.2022, 12:13	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube jetzt verstehe ich dein Problem. Stell' dir vor, in einem Karton sind 5 Objekte. Diese zählst du nun auf. Dafür nimmst du dir die Zahlen 1 bis 5, also die Teilmenge $\begin{eqnarray} N_5 := \left\{1,2,3,4,5\right\} \subset\mathbb N \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ bleibt unbeschränkt, während die Menge $\begin{eqnarray} N_5 \end{eqnarray}$ beschränkt ist und damit nur endlich viele Elemente enthält. Wählst du nun ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , dann hast du ein festes Element. Bildest du $\begin{eqnarray} N_n := \left\{1,2,..., n\right\} \subset\mathbb N \end{eqnarray}$ , dann bleibt $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ unbeschränkt. Aber mit Vorgabe der festen Größe $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wird die Menge $\begin{eqnarray} N_n \end{eqnarray}$ beschränkt. Ich glaube dein gedanklicher Knoten ist, dass man nun $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ beliebig groß machen kann. Das stimmt auch. Aber ob du $\begin{eqnarray} n=1, n=5.000 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} n=10^{10^{10^{10}}} \end{eqnarray}$ wählst, die entstehende Menge $\begin{eqnarray} N_n \end{eqnarray}$ ist beschränkt, da $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine feste Größe ist.
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09.05.2022, 13:05	kmn22	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, dass hilft mir weiter! Ist das dann mathematisch so korrekt: Sei die Objektmenge $\begin{eqnarray} O := \{ 1,2,...,n\} \subset \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gegeben, mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Ist das so korrekt? und: Muss ich schreiben, dass $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist, oder ist das bereits Trivial, da die Menge $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind?
09.05.2022, 13:50	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe besser: Für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ betrachte die Menge $\begin{eqnarray} O:=\left\{1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ . Die Punkte kann man übrigens umgehen, indem man $\begin{eqnarray} O:=\left\{m\in\mathbb N \| m\leq n\right\} \end{eqnarray}$ schreibt. Dies liest sich als "O ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als die vorher gewählte Größe n ist". Woher $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kommt, musst du natürlich vorher festlegen. Du kannst ja auch alle natürlichen Zahlen in einer Menge zusammenfassen, die kleinergleich $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sind.
09.05.2022, 15:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die bloße Nennung der Aufzählung $\begin{eqnarray} 1,\ldots,n \end{eqnarray}$ macht es erforderlich, dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl ist - es schadet aber nicht, dass dennoch nochmal zu betonen. Sollte man alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} \leq x \end{eqnarray}$ für irgendeine reelle Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ meinen, dann verwendet man diese Schreibweise $\begin{eqnarray} 1,\ldots,x \end{eqnarray}$ NICHT, sondern stattdessen beispielsweise das von Malcang genannte $\begin{eqnarray} \left\{ m\in\mathbb{N} \mid m\leq x\right\} \end{eqnarray}$ . Denkbar im Fall $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ wäre aber $\begin{eqnarray} 1,\ldots,\lfloor x\rfloor \end{eqnarray}$ .

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