Produkt von Mannigfaltigkeit ohne und mit Rand

10.05.2022, 02:52	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Mannigfaltigkeit ohne und mit Rand Auf meinem aktuellen Übungszettel soll ich zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} \partial(M\times N) = M\times \partial N \end{eqnarray}$ , wobei M eine glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand und N eine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand. Die Dimension von M ist m, die von N n. $\begin{eqnarray} \partial N \end{eqnarray}$ bezeichnet den Rand von N. Der kanonische Atlas auf M x N ist ja gegeben durch Karten der Art $\begin{eqnarray} (U\times V, \phi_U \times \phi_V) \end{eqnarray}$ mit offenen Teilmengen U von M, V von N und zugehörigen Kartenabbildungen $\begin{eqnarray} \phi_U, \phi_V \end{eqnarray}$ . Offenbar gilt für $\begin{eqnarray} q\in M, p\in \partial N \end{eqnarray}$ , dass dann $\begin{eqnarray} (\phi_U \times \phi_V)(q,p) = (x^1,\dots, x^{m+n-1},0) \in \partial \mathbb{R}_+^{m+b} \end{eqnarray}$ gilt (oberer Halbraum), wobei ich einen Isomorphismus zur Identifikation von des R^m x R^n mit dem H^(m+n) angewendet habe. Ich grübele nun über der exakten Definition des Randes einer Mannigfaltigkeit. Nach dem was ich in verschiedenen Skripten gelesen habe würde qua Definition $\begin{eqnarray} \partial(M\times N) = M \times \partial N \end{eqnarray}$ gelten müssen, da ja gerade die letzte Komponente von $\begin{eqnarray} (\phi_U \times \phi_V)(q,p) = (x^1,\dots, x^{m+n-1},x^{m+n}) \end{eqnarray}$ , d.h. x^(m+n), identisch Null sein muss. Und die gehört nach Reihenfolge (und kanonischem Atlas) im kartesischen Produkt M x N immer zum Rand von N. Das mutet auf mich aber etwas seltsam an. In meinen Augen gibt es nach Konstruktion des zugehörigen Atlas der Produktmannigfaltigkeit nichts mehr zu zeigen. Ist dem wirklich so?

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