Gruppe neutrales Element

10.05.2022, 22:59

frageindernacht

Gruppe neutrales Element

Meine Frage:
Guten Abend,

in meiner Vorlesung sind die Gruppenaxiome folgendermaßen definiert:
1) Existenz eines (links)-neutralen Elements: $\begin{eqnarray*} e \circ g = g \end{eqnarray*}$
2) ...

Jetzt ist die Frage, wieso Axiom 1 nicht äquivalent zu folgender Aussage ist: "Existenz eines neutralen Elements: $\begin{eqnarray*} g \circ e = g \end{eqnarray*}$ "?

Meine Ideen:
Durch Nachlesen und Überlegungen ist klar, dass jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral ist, aber was ist dann hier zu zeigen?

10.05.2022, 23:41

Helferlein

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

Original von frageindernacht

Durch Nachlesen und Überlegungen ist klar, dass jedes linksneutrale Element auch rechtsneutral ist

Ist das so? Dann wäre doch die Aufgabe sinnlos, oder? Also musst Du irgendwas überlesen und/oder nicht bedacht haben bei dieser Schlussfolgerung.

10.05.2022, 23:55

dankelebensretter

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RE: Gruppe neutrales Element
Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich habe einfach das "neutral" zu der nicht äquivalenten Aussage hinzugedichtet, es steht dort nur etwas von Existenz eines Elements (ohne Zusatz "neutral")!! Vielen Dank.

Zeige ich das nun, dass es nicht einfach irgendein Element sein kann, sondern beispielweise 0 bei + in IN? oder wie gehe ich vor?

11.05.2022, 00:38

Helferlein

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RE: Gruppe neutrales Element
Halten wir erst einmal fest: Wenn wir davon ausgehen, dass ihr exakter formuliert habt, als es in deinem Text steht, dann sollte die Behauptung wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} \exists e \in G~\forall g: e \circ g = g \not \Leftrightarrow \exists e \in G~\forall g: g \circ e = g \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass eine der beiden Richtungen keine korrekte Schlussfolgerung liefert. Es wäre also sinnvoll sich ein Beispiel für eine Menge mit einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ zu überlegen, bei der zwar ein linksneutrales Element existiert, nicht aber ein rechtsneutrales.

Übrigens: Hier im Forum ist das Dutzen üblich.

11.05.2022, 08:38

Huggy

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RE: Gruppe neutrales Element
Das ist in Verbindung mit den anderen Gruppenaxiomen schon äquivalent. Siehe

Schwache Gruppenaxiome

Als Einzelaussage ohne die anderen Gruppenaxiome ist es nicht äquivalent.

11.05.2022, 11:28

qwertzqwertz

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RE: Gruppe neutrales Element
Okay und wie komme ich auf ein Beispiel, das links aber nicht rechtsneutral ist? ich überlege schon lange, aber ich komme auf nichts ...

11.05.2022, 13:01

Elvis

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1*1=1,1*2=2,2*1=1,2*2=2
1 und 2 sind linksneutral, es gibt kein rechtsneutrales Element, ({1,2},*) ist keine Gruppe.

11.05.2022, 13:07

Huggy

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RE: Gruppe neutrales Element
Meine Befürchtung ist, dass nicht so recht klar ist, was du suchst bzw. was die Aufgabenstellung ist, wenn es um eine Aufgabe geht.

Wenn es nur darum geht, eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ zu finden, die ein linksneutrales Element hat, aber kein rechtsneutrales Element, so geht das schon mit einer Menge, die nur 2 Elemente hat.

Sei $\begin{eqnarray*} M=\{e_L,a\} \end{eqnarray*}$ . Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ sei durch folgende Verknüpfungstafel definiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c| c c} & e_L & a\\ \hline e_L & e_L & a\\ a & e_L & e_L\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

11.05.2022, 15:36

ubububububu

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an soetwas habe ich auch gedacht, das erschließt sich mir auch.

11.05.2022, 15:40

mumuumumumum

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

Original von Huggy
Meine Befürchtung ist, dass nicht so recht klar ist, was du suchst bzw. was die Aufgabenstellung ist, wenn es um eine Aufgabe geht.

Wenn es nur darum geht, eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ zu finden, die ein linksneutrales Element hat, aber kein rechtsneutrales Element, so geht das schon mit einer Menge, die nur 2 Elemente hat.

Sei $\begin{eqnarray*} M=\{e_L,a\} \end{eqnarray*}$ . Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ sei durch folgende Verknüpfungstafel definiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c| c c} & e_L & a\\ \hline e_L & e_L & a\\ a & a & e_L\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

das verstehe ich nicht ganz, wieso ist es laut Tabelle nicht auch rechtsneutral? die Verknüpfungstabelle ist doch symmetrisch?

11.05.2022, 15:48

Huggy

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RE: Gruppe neutrales Element
Du hast recht. Da ist mir beim Ausfüllen der Tabelle ein Lapsus passiert. Ich habe die Tabelle korrigiert.

11.05.2022, 16:08

okokokkokooko

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

vielen Dank. So verstehe ich es nun auch.
Die Aufgabe bestand darin, zu zeigen, dass sich die folgende Definitionen einer Gruppe unterscheiden:
1. Definition: *normale Defintion* mit (links)neutralem Element $\begin{eqnarray*} e \circ\ g = g \end{eqnarray*}$ , sowie die anderen 2 Axiome
2. Definition: fordert als 1. Axiom nur die Existenz eines Elements, für das gilt: $\begin{eqnarray*} g \circ e = g \end{eqnarray*}$ , sonst sind die anderen beiden Axiome gleich.

Bedeutet also, durch Angeben deiner Menge und Verknüpfungstafel ist die Äquivalenz widerlegt? oder habe ich was übersehen?

12.05.2022, 13:15

Huggy

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

Original von okokokkokooko
Die Aufgabe bestand darin, zu zeigen, dass sich die folgende Definitionen einer Gruppe unterscheiden:
1. Definition: *normale Defintion* mit (links)neutralem Element $\begin{eqnarray*} e \circ\ g = g \end{eqnarray*}$ , sowie die anderen 2 Axiome
2. Definition: fordert als 1. Axiom nur die Existenz eines Elements, für das gilt: $\begin{eqnarray*} g \circ e = g \end{eqnarray*}$ , sonst sind die anderen beiden Axiome gleich.

Jetzt wird die Aufgabe etwas klarer, obwohl du nicht sagst, was mit "normaler Definition" gemeint ist. Meine Vermutung ist, dass damit die "schwachen" Gruppenaxiome gemeint sind in der Variante linksneutral und linksinvers. Die Frage ist dann, ob man linksneutral durch rechtsneutral ersetzen kann unter Beibehaltung von linksinvers.

Die Antwort ist nein!

Zitat:

Bedeutet also, durch Angeben deiner Menge und Verknüpfungstafel ist die Äquivalenz widerlegt? oder habe ich was übersehen?

Nein! Meine Tafel zeigt nur, dass linksneutral und rechtsneutral nicht äquivalent sind, falls an die Verknüpfung keine weiteren Anforderungen gestellt werden. In der Aufgabe gibt es aber weitere Anforderungen, die von meiner Tafel nicht erfüllt werden.

Für ein Gegenbeispiel zur Aufgabe braucht man wohl eine Menge mit mindestens 3 Elementen. Wenn ich mich nicht vertan habe, geht es schon mit 3 Elementen. Versuch mal, so ein Gegenbeispiel zu konstruieren. Mittels der gegebenen Bedingungen lassen sich die Ausfüllmöglichkeiten der Tafel stark einschränken.

12.05.2022, 19:20

mldkgjlakjdf

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RE: Gruppe neutrales Element

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Bedeutet also, durch Angeben deiner Menge und Verknüpfungstafel ist die Äquivalenz widerlegt? oder habe ich was übersehen?

Mit "normale Defintion" meinte ich bspw. die 3 Gruppenaxiome, die auch bei bspw. Wikipedia zu finden sind, nur dass lediglich bei dem Axiom mit dem neutralen Element speziell ein linksneutrales gefordert wird (also wie du gesagt hast, die schwachen Gruppenaxiome)

Ich habe leider keine Idee für ein Gegenbeispiel mit 3 Elementen. Könnte ich beispielsweise einfach eine Menge = {0,1,2} definieren und damit was zeigen? Ich verstehe nicht wie.

12.05.2022, 19:55

Elvis

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Es ist immer noch völlig unklar, was du willst.

1.)

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung, die assoziativ ist, ein neutrales Element enthält und zu jedem Element ein inverses Element enthält.

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung, die assoziativ ist, ein links-neutrales Element enthält und zu jedem Element ein links-inverses Element enthält.

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung, die assoziativ ist, ein rechts-neutrales Element enthält und zu jedem Element ein rechts-inverses Element enthält.

Diese drei Definitionen sind äquivalent. (Übung: Beweise, dass diese drei Definitionen äquivalent sind, indem du zeigst, dass in einer Gruppe ein links-neutrales Element ein neutrales Element ist. Ebenso für rechts-neutrales Element. Zeige ebenso, dass in einer Gruppe jedes links-/rechts-inverse Element ein inverses Element ist.)

2.)

Es gibt Mengen mit Verknüpfungen, die keine Gruppe sind. In einer beliebigen Menge gibt es für ein links-neutrales Element keinen Grund, ein neutrales Element zu sein. Beispiele haben wir dir schon gegeben.

Du musst dich entscheiden, ob du 1.) über Gruppen oder 2.) über beliebige Mengen reden möchtest.

12.05.2022, 20:45

kfjadsklöfjölkxjf

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Edit(Helferlein) Vollzitat entfernt, da unnötig und laut Boardregeln nicht erwünscht.

Hallo Elvis,

wie schon öfter (zumindest versucht) erklärt, soll ich die Äquivalenz von Gruppendefinitionen prüfen. Dass die Gruppendefinitionen, wie du sie hier geschrieben hast, äquivalent ist, erschließt sich mir und ist klar. Bei den von mir zur Überprüfung auf Äquivalenz angegebenen Definitionen handelt es sich um deine 2.:

Zitat:

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer inneren Verknüpfung, die assoziativ ist, ein links-neutrales Element enthält und zu jedem Element ein links-inverses Element enthält.

Die zweite ist: "Element $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \circ e = g \end{eqnarray*}$ , gibt Inverses und Assoziativität".

Die 2. fordert nicht, dass es ein neutrales Element sein muss, also muss ich eine Verknüpfung 2er Elemente finden, die wieder das 2. Element wird.

Meine Entscheidung ist, dass ich insgeheim weder über Gruppen noch Mengen reden möchte, da sich mir diese Aufgabenstellung (noch) nicht erschließt.

12.05.2022, 21:49

Elvis

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Da haben wir etwas gemeinsam, die Aufgabenstellung erschließt sich mir auch nicht. Ich bin ziemlich sicher, dass sie nichts taugt. Entweder hat der Aufgabensteller falsch formuliert oder du hast die Aufgabe falsch wiedergegeben.

13.05.2022, 07:51

Huggy

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Wie ich schon mal sagte, gehe ich von folgender Aufgabenstellung aus:

Gegeben sei eine Menge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit einer Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} G \times G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abbildet und folgende Axiome erfüllt:

1. Es gilt das Assoziativgesetz
2. Es gibt ein rechtsneutrales Element
3. Jedes Element besitzt ein linksinverses Element

Wird dadurch eine Gruppe definiert?

Das ist jedenfalls ein sehr sinnvolle Aufgabenstellung. Mein Gegenbeispiel sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c| c c c} & e & a & b\\ \hline e & e & e & e\\ a & a & a & a\\ b & b & b & b\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Die Verknüpfungstafel erfüllt obige Axiome, wobei das Assoziativgesetz etwas mühsam zu verifizieren ist. Sie definiert aber keine Gruppe, denn die starken Gruppenaxiome sind nicht erfüllt.

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