Äquivalenzrelation

11.05.2022, 16:01

yxcvbnm

Äquivalenzrelation

Meine Frage:
ZZ ist, ob folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind:
$\begin{eqnarray*} a) f ~ g: \exists m,n \in \mathbb N: f^m = g^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) f ~ g: f \circ g(\mathbb R) \subset g \circ f(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Antwort ist, dass b) nicht symmetrisch ist, da es kein $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ist.
a) ist auch keine, allerdings bin ich hier überfordert, wie ich es notieren soll. Kann mir jemand helfen?

11.05.2022, 16:12

HAL 9000

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Irgendwie hast du da die Prämisse weggelassen: Ich nehme an, es soll um reelle Funktionen gehen, d.h. $\begin{eqnarray*} f,g:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

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Gut, ich gehe mal davon aus, dass das so gemeint ist.

a) ist eine Äquivalenzrelation, kann man der Symmetrie der Definition wegen auch formal streng nachweisen.

b) ist keine Äquivalenzrelation, aber deine Begründung überzeugt mich nicht: Ich gehe sogar davon aus, dass mit $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ hier einfach Teilmenge statt echter Teilmenge gemeint ist, dennoch ist das keine Äquivalenzrelation. Die Angabe eines Paares $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ mit sowohl $\begin{eqnarray*} f\sim g \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} g\nsim f \end{eqnarray*}$ wäre ein klare und deutliche Begründung.

11.05.2022, 16:48

bbuhubububu

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie hast du da die Prämisse weggelassen: Ich nehme an, es soll um reelle Funktionen gehen, d.h. $\begin{eqnarray*} f,g:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

Entschuldige das Weglassen $\begin{eqnarray*} f,g:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! Bedeutet, wenn ich bei a) die Symmetrie beweisen will, ist dann $\begin{eqnarray*} f ~ g = g ~ f mit f^m = g^n und g^n = f^m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^m = g^n und f^n = g^m \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2022, 17:00

brumburmbure

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Zitat:

Original von bbuhubububu

Zitat:

da hat es mir ja meine ganze Formatierung verhauen! hier nochmal in schön: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^m = g^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^n = f^m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^m = g^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^n = g^m \end{eqnarray*}$ ?

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