Bedingte Unabhängigkeit

14.05.2022, 13:20

RaffeJos

Bedingte Unabhängigkeit

Meine Frage:
Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Sei ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , P) ein diskreter W-Raum und $\begin{eqnarray*} A,B,C \subset \Omega \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: Aus der stochastischen Unabhängigkeit von A und B folgt: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B | C) = P(A|C) P(B|C) \end{eqnarray*}$ .
Wir sagen: Die Ereignisse A und B sind bedingt stochastisch unabhängig unter C.

Meine Ideen:
Meine Idee war es, bei der linken Seite der Gleichung anzufangen und mittels Umformungen zur rechten Seite zu gelangen. Jedoch komme ich nicht weiter. Ich habe erst einmal die Def der bedingten Wahrscheinlichkeit genutzt und habe also aus der linken Seite $\begin{eqnarray*} \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \end{eqnarray*}$ erhalten. Dann habe ich zuerst mit der Multiplikationsformel versucht weiterzukommen, aber das hat nicht geholfen, da dafür $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) > 0 \end{eqnarray*}$ gelten müsste.
Hat vllt jemand von euch einen Tipp, wie ich weiterkommen könnte?

14.05.2022, 16:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von RaffeJos
Aus der stochastischen Unabhängigkeit von A und B folgt: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B | C) = P(A|C) P(B|C) \end{eqnarray*}$ .

Diese Behauptung ist falsch: Nehmen wir den Laplaceschen W-Raum $\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ sowie die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A=\{1,2\},B=\{1,3\},C=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ unabhängig, aber es gilt $\begin{eqnarray*} P(A\mid C) = P(B\mid C) = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\mid C)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\mid C)\neq P(A\mid C) \cdot P(B\mid C) \end{eqnarray*}$ .

14.05.2022, 16:27

RaffeJos

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hatte mir inzwischen auch ein Gegenbeispiel im Laplace´schen W-Raum gebastelt....Trd danke für die Hilfe.

VG

Neue Frage »

Antworten »

Bedingte Unabhängigkeit

Verwandte Themen