Strikt positiv definite Matrix

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GeneralIroh Auf diesen Beitrag antworten »
Strikt positiv definite Matrix
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Die Matrix ist definiert durch , wenn und sonst und . Ich soll zeigen, dass strikt positiv definit sind. Eine Matrix ist nach unserer Vorlesung strikt positiv definit, wenn für ein und alle

Meine Ideen:
Hier erstmal mein Ansatz für : . An dieser Stelle weiß ich leider nicht, wie ich das nach unten abschätzen kann, hat jemand Ideen? Meine zweite Idee war es zu zeigen, dass diese Definition von positiver Definitheit äquivalent ist zu "klassischen" Definition, also, dass das Skalarprodukt ist, und dann die Eigenwerte der Matrizen zu bestimmen, allerdings fand ich die Bestimmung der Eigenwerte ziemlich schwierig, da ich auf Anhieb keine explizite Form für das charakteristische Polynom gefunden habe, sondern nur eine Rekursionsformel. Danke für eure Hilfe!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: strikt positiv definite Matrix
Du kannst umschreiben mit zu
.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt nun mit Gleichheit genau dann, wenn konstant ist, d.h. jeder Eintrag gleich ist.
GeneralIroh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: strikt positiv definite Matrix
Also deine Abschätzung mit Cauchy-Schwarz kann ich nachvollziehen, allerdings muss ich die 2 vor der Summe doch noch mit 1/2 multiplizieren, würde ich dann nicht erhalten? Das würde mir ja noch keine strikte positive Definitheit liefern.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: strikt positiv definite Matrix
Wenn nicht konstant ist, dann hast du ja strikte Ungleichung. Dort bekommst du die strikte Ungleichung bei der Definitheit!

Wenn kannst du die Definitheit direkter nachrechnen. Dann ist .

Edit: In deiner Definition zu Anfang fehlt sicherlich rechts ein Quadrat. Ansonsten gäbe es keine strikt-positive Matrizen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung sagt nun mit Gleichheit genau dann, wenn konstant ist

Hmmm... hmmmmmm... die Aussage zur Gleichheit bezieht sich wohl eher auf die für relevante Ungleichung . Und auch da stimmt sie (außer im Nullvektorfall) auch nur dann, wenn man links noch (zirkulär schließend) anfügt.

Geht es hingegen um , so erfordert Gleichheit alternierende Komponenten gleichen Betrags, d.h. , was dann zirkulär geschlossen im Nichtnullvektorfall zudem auch nur bei geradem möglich ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Danke dir. Das war sehr salopp von mir formuliert. "Genau dann wenn" war natürlich falsch, ich meinte "nur dann könnte überhaupt" smile
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, die Gleichheitsbetrachtung ist kein Killer für das Funktionieren der Gesamtargumentation, wollte es aber dennoch nicht so stehen lassen. Augenzwinkern
GeneralIroh Auf diesen Beitrag antworten »

Also könnte ich in beiden Fällen argumentieren, dass Gleichheit nur für den Nullvektor gelten kann? Damit habe ich dann ja jetzt gezeigt, dass eine Konstante existiert mit . Mir kommt es an der Stelle aber noch so vor als würde diese Konstante von abhängen, weil in der Rechnung ja ein beliebiges festes gewählt wurde. Wie genau könnte ich da jetzt argumentieren, dass es eine von unabhängige Konstante gibt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist, kann man durch teilen und bekommt die äquivalente Aussage . Damit genügt es das Minimum auf zu suchen, d.h. . Die Menge ist kompakt und stetig, damit nimmt es dort Minimum an. Wenn man zeigen kann, dass für alle folgt damit also schon die Aussage.
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