Punkteweise Konvergenz und Konvergenz in der Unendlich-Norm

15.05.2022, 16:26

GeneralIroh

Punkteweise Konvergenz und Konvergenz in der Unendlich-Norm

Meine Frage:
Hi, ich soll untersuchen, ob die folgenden Funktionen punktweise konvergieren oder divergieren und danach die Konvergenz in der Unendlich-Norm:
1. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sin(\frac{1}{n}x) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sin(\frac{n}{n+1}x) \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sin(x+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sin(x^2+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist die punktweise Konvergenz bei allen 4 Funktionen nicht schon dadurch gegeben, dass die Sinusfunktion stetig ist und alle inneren Funktionen konvergieren? Danach müsste ich dann ja nur noch die entsprechende Grenzfunktion in der Unendlich-Norm betrachten.

15.05.2022, 16:47

HAL 9000

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RE: punkteweise Konvergenz und Konvergenz in der Unendlich-Norm

Zitat:

Original von GeneralIroh
Ist die punktweise Konvergenz bei allen 4 Funktionen nicht schon dadurch gegeben, dass die Sinusfunktion stetig ist und alle inneren Funktionen konvergieren? Danach müsste ich dann ja nur noch die entsprechende Grenzfunktion in der Unendlich-Norm betrachten.

Ja.

Da du nirgendwo was zur Definitionsmenge der angegebenen Funktionen sagst, nehme ich mal an, es ist überall $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gemeint.

Und mit Unendlich-Norm meinst du anscheinend die $\begin{eqnarray*} L^{\infty} \end{eqnarray*}$ -Norm, d.h. (wesentliches) Supremum. Bei 1./2. liegt diesbezüglich keine Konvergenz vor, bei 3./4. hingegen schon.

16.05.2022, 13:02

GeneralIroh

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RE: punkteweise Konvergenz und Konvergenz in der Unendlich-Norm
Danke für die Hilfe, ich wollte bei der Konvergenz in der Norm in 3.jetzt mit der gleichmäßigen Stetigkeit der Sinusfunktion argumentieren. Ist der Ansatz richtig und würde das bei 4. auch so funktionieren? Ich wundere mich da gerade etwas, weil die 4. Funktion doppelt so viele Punkte gibt, wie die anderen.

16.05.2022, 13:21

HAL 9000

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Ja, das klappt schon, aber du musst es natürlich dann auch deutlich einordnen. Die Sinusfunktion ist sogar lipschitzstetig $\begin{eqnarray*} \left|\sin(u)-\sin(v)\right|\leq L\cdot |u-v| \end{eqnarray*}$ mit Faktor $\begin{eqnarray*} L=1 \end{eqnarray*}$ , begründbar z.B. mit Mittelwertsatz. Bezogen auf 4. heißt das

$\begin{eqnarray*} \left|\sin\left(x^2+\frac{1}{n}\right)-\sin\left(x^2\right)\right|\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Auch klar, warum es bei 1. und 2. nicht klappt?

16.05.2022, 13:45

GeneralIroh

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Also bei 1. wollte ich $\begin{eqnarray*} x=n\pi \end{eqnarray*}$ wählen und bei 2. $\begin{eqnarray*} x=3\pi(n+1)/2 \end{eqnarray*}$ , da sollte bei beidem der Betrag der Differenz der Funktionswerte 1 sein.

16.05.2022, 13:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von GeneralIroh
Also bei 1. wollte ich $\begin{eqnarray*} x=n\pi \end{eqnarray*}$ wählen [...] der Betrag der Differenz der Funktionswerte 1

Das klappt wohl eher mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das Beispiel bei 2. ist Ok, wobei es auch bereits $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ getan hätte.

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