Nicht-konstante ganze Funktionen

16.05.2022, 15:41	matehstudent17	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-konstante ganze Funktionen Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb C \to\mathbb C \end{eqnarray}$ eine nicht-konstante ganze Funktion.Zeigen Sie die Äquivalenz der folgende Aussagen $\begin{eqnarray} (i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist ein Polynom. $\begin{eqnarray} (ii) \end{eqnarray}$ Es gibt Konstanten $\begin{eqnarray} R_0,C,s>0 \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} f( \mathbb C \setminus K_{R}(0)) \subset \mathbb C \setminus K_{CR^s}(0) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} R>R_0 \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} (iii) \end{eqnarray}$ Zu jedem $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ exitiert ein $\begin{eqnarray} R' >0 \end{eqnarray}$ derart,dass $\begin{eqnarray} f( \mathbb C \setminus K_{R'}(0)) \subset \mathbb C \setminus K_{R}(0) \end{eqnarray}$ Meine Antwort: Hallo, Die Beweisstrategie, die ich anwenden möchte, ist der Ringschluss. Das heißt, dass ich zeige werden, dass $\begin{eqnarray} (i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i) \end{eqnarray}$ gilt. 1. $\begin{eqnarray} (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray}$ Wir haben als Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine nicht-konstante ganze Funktion und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist ein Polynom. Sei nun $\begin{eqnarray} f(z)=\sum_{j=0}^{n} a_j \cdot z^j \in \mathbb C [z] \end{eqnarray}$ ein nicht konstantes Polynom vom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Laut meinen Skript sind dann mit dem Fundamentalsatz der Algebra zwei Aussagen in diesem Setting äquivalent: $\begin{eqnarray} (1) f(z) \end{eqnarray}$ hat eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \end{eqnarray}$ Es gibt $\begin{eqnarray} b_1,...,b_n \in \mathbb C \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} f(z)= a_n \prod_{j=1}^{n}(z-b_i) \end{eqnarray}$ Nun folgere ich mit Hilfe des Satzes, dass $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z)=0 \end{eqnarray}$ hat. Ich wollte nun irgendwie $\begin{eqnarray} K_R(0) \end{eqnarray}$ ins Spiel bringen, weiß aber nicht wie.. Würde mir vielleicht jemand helfen wollen, bitte? Ist mein Ansatz käse?

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