Einheitskreis

16.05.2022, 16:28

Samsara

Einheitskreis

Meine Frage:
Sei S^1 = {(x,y) e R^2 : |x|^2 + |y|^2 = 1 } der Einheitskreis.
Zeigen Sie: Es gibt ein (x0,y0)eS' mit x^4+y0^4<=x0^4+y^4 für (x,y) für alle (x,y)eS'.Angeblich sei das äquivaent zu x^4-y^4<=x0^4-y04 und das wiederum zu (x^2+y^2)(x^2-y^2)<=(x0^2+y0^2)(x0^2-y0^2). Einmal ist mir die erste Äquivalenzen nicht klar.Und zum anderen komme ich mit der Tatsache, dass x^2+y^2=1

Meine Ideen:
bis jetzt fällt mir dazu ein, dass aus x^2+y^2=1 y=1-x folgt, weitere Ideen, ob richtig oder falsch, habe ich nicht.

16.05.2022, 16:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samsara
Zeigen Sie: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)\in S' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^4+y_0^4\leq x_0^4+y^4 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in S' \end{eqnarray*}$ .

Ich gehe mal davon aus, dass du mit $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ da auch wieder $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ meinst.

Das ist doch ganz einfach nachweisbar, ohne den ganzen Schmus, den du oben angeführt hast: Der Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(1,0)\in S' \end{eqnarray*}$ erfüllt diese Forderung, denn für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in S' \end{eqnarray*}$ gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} x^4+y_0^4 = x^4 \leq 1\leq 1+y^4 = x_0^4+y^4 \end{eqnarray*}$ ,

fertig der Lack.

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