Zentralisator S4-Permutation

17.05.2022, 10:33	lukas23	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentralisator S4-Permutation Meine Frage: Bestimmen Sie alle Elemente des Zentralisators Z_S4 (\sigma) wobei \sigma die folgende Permutation aus S4 ist \sigma := (12) \sigma := (123) Meine Ideen: Könnte mir das jemand an einem bespiel zeigen stück für stück wie man das erechnet dann wrde ich es weiter probieren
17.05.2022, 13:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentralisator S4-Permutation Allgemein kann man zu $\begin{eqnarray} Z_{S_n}(\sigma) \end{eqnarray}$ sicher folgendes sagen: $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bestehe aus den disjunkten Zykeln $\begin{eqnarray} \sigma_1,\ldots,\sigma_m \end{eqnarray}$ , die zugehörigen separat erzeugten Untergruppen von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ seien $\begin{eqnarray} U_1,\ldots,U_m \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Untergruppe derjenigen Permutationen, wo alle Elemente Fixpunkte sind, die keine Fixpunkte von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ sind (anders gesagt: die in den Zykeln $\begin{eqnarray} \sigma_1,\ldots,\sigma_m \end{eqnarray}$ auftauchen). Dann gilt auf jeden Fall $\begin{eqnarray} U_1\cdot \ldots \cdot U_m\cdot V\subseteq Z_{S_n}(\sigma) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ meine ich das (innere) direkte Produkt der Untergruppen. Meine Vermutung ist, dass sogar Gleichheit gilt, wofür mir aber auf Anhieb keine zündende Beweisidee einfällt - da kann vielleicht einer der Algebra-Experten hier im Board (einer mit besonderer Kenntnis von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ) aushelfen. Am Beispiel $\begin{eqnarray} \sigma=(12) \end{eqnarray}$ : Dort ist $\begin{eqnarray} U_1 = \{ (), (12) \} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} V = \{ (), (34) \} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} U_1\cdot V = \{ (), (12), (34), (12)(34) \} \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »