Zeilensumme

Neue Frage »

Commodore Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilensumme
Meine Frage:
Gegeben sei eine symmetrische Matrix S mit reellen, positiven Einträgen.
Gesucht ist eine Diagonalmatrix W mit ebenfalls reellen, positiven Einträgen, so dass alle Zeilensummen (notwendig dann auch alle Spaltensummen) über die transformierte Matrix WSW eins ergeben.
Gibt es eine solche Matrix? Ist die Lösung eindeutig? Wie sieht die Lösung aus?

Meine Ideen:
Bin nach langem Überlegen auf keinen Lösungsweg gestoßen. Gefühlsmäßig und aufgrund numerischer Beispiele, sollte es eine (eindeutige) Lösung geben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit sowie gilt offenbar .


Backen wir zunächst mal ganz kleine Brötchen, also Dimension : Dann muss für deine Matrix WSW mit jeweils Zeilensumme 1 gelten





Die Differenz ergibt und damit und mit noch zu bestimmenden Parameter . In (1) eingesetzt somit



und damit .


Ok, für klappt das also, aber es ist zumindest mir nicht klar, wie man obige Vorgehensweise einer direkten Bestimmung auch auf größere erweitern kann. verwirrt
Commodore Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, n=2 hatte ich mit Papier und Bleistift auch schon überprüft. Die Tatsache, dass es eine symmetrische Matrix ist, muss doch irgendwie bei der Lösung eine Rolle spielen. Ich hatte da schon allerhand rumprobiert (orthogonale Diagonalisierung, Darstellung der w als Linearkombination der Eigenvektoren, ...) aber leider ohne Resultat.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Commodore
Die Tatsache, dass es eine symmetrische Matrix ist, muss doch irgendwie bei der Lösung eine Rolle spielen.

Naja, es spielt ja insofern eine Rolle, dass damit automatisch dann auch die Spaltensummen gleich 1 sind. Dass man für nichtsymmetrische Matrizen i.a. nicht erzwingen kann, dass alle diese Spalten- und Zeilensummen jeweils gleich 1 sind, ist klar: Das sind Forderungen bei nur Freiheitsgraden (die Diagonalenelemente von ).

----------------------------------------------------------------------------

Wenn alle Stricke reißen, kannst du es ja immer noch mit einem Näherungsverfahren versuchen: Mit ist die Nullstelle der Funktion



gesucht. Beispielsweise würde man für das -dimensionale Newton-Verfahren die Jacobi-Matrix dieser Funktion benötigen, die ist



und die Newton-Iteration wäre dann . Kann man zumindest mal versuchen...
Commodore Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Newton-Verfahren muss ich mal ausprobieren.

Nach langer Recherche glaube ich, dass meine Fragestellung ein Spezialfall von "Sinkhorn's theorem" (darf den Link zur englischsprachigen Wikipedia leider nicht posten) ist.

Was dort als Sinkhorn-Knopp algorithm bezeichnet wird, hatte ich (ohne das Verfahren oder seine Konvergenzeigenschaften zu kennen) ebenfalls durchgeführt.

Interessant: M. Idel, "A review of matrix scaling and Sinkhorn’s normal form for matrices and positive maps"
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das mit Newton gestern mal ausprobiert, scheint zu klappen. Wie so oft bei Newton sollte aber der Startwert nicht zu weit weg liegen - ich hab es mit versucht und bin damit ganz gut gefahren.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »