Skalarprodukt zeigen

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Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt zeigen
Meine Frage:
Sei V = Mm,n (R) und sei s : V x V nach R gegeben durch s(A,B) := trA^T*B). Zeigen Sie: s ist ein SKalarprodukt

Ich weiß nich, wie ich mit der Vorgabe, V = Mm,n(R) also eine nichtquadratische Matrix eine SKalarprodukt machen soll s: V x V müsste ja bedeuten, ich mache hier ein Kreuzprodukt, damit komme ich aktuell auch nicht klar. Wie soll spur(A^T*B) aussehen. Ich versuche weiter, damit irgendwie weiter zu kommen, wäre für eine Hilfestellung aber schon dankbar.

Meine Ideen:
Die Ideen fehlen mir im Moment noch.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Matrizenraum lässt sich als Koordinatenraum auffassen. Die Komponenten eines Vektors werden dabei nicht durch einen einzelnen Index indiziert, sondern durch ein Paar, wobei aber beides äquivalent ist, insofern man sich auf eine Anordnung geeinigt hat. Du findest mittels Definition von Transposition, Matrizenmultiplikation und Spur die Umformung



wobei auf der rechten Seite schlicht das Standardskalarprodukt des steht.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz klar komme ich damit noch nicht. Was ich jetzt selbst probiert habe, ist folgendes: Es stand ja da, V = Mm,n(R) uns s V x V zunächst. Ich habe dann eine Matrix 3,2 miteinander multipliziert und dann zunächst davon das Kreuzprodukt errechnet. Ich habe dabei nur Variable benützt und mich natürlich x mal vertan. Frage : ist das überhaupt richtig gewesen?
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das zwar wie beschrieben gemacht, mir ist jetzt eingefallen, dass es, so meine ich, zunächst darum geht, aus dieser Matrize ein Vektorprodukt zu errechnen. Ob richtig oder falsch, so weit bin ich aktuell gekommen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Signatur bedeutet lediglich, dass eine reellwertige zweistellige Abbildung sein soll.

Konkrete Rechnung zur Veranschaulichung. Ob die Matrizen quadratisch sind oder nicht, ist für die Betrachtung nicht so wichtig. Nehmen wir mal weil das am wenigsten umständlich ist. Da erhält man



und somit



Nun betrachten wir die beiden Matrizen als Elemente von Hierfür fügen wir bei den Matrizen jeweils den zweiten Spaltenvektor unter den ersten. Das Standardskalarprodukt ergibt nun



Siehe da, dieselbe Summe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zusammenhang, den Finn_ angibt, ist von Interesse, weil er zeigt, daß es sich letztlich um das gewöhnliche Standardskalarprodukt handelt. Für den ersten Teil der Aufgabe brauchst du ihn jedoch nicht. Was ist nämlich zu zeigen?

1. Die Abbildung ist eine symmetrische Bilinearform.
2. Die Abbildung ist positiv definit.

Schau in deinen Unterlagen bei der Definition eines Skalarprodukts nach.

Ich fange einmal für dich an und zeige die Linearität im ersten Argument. Seien dazu passende Matrizen und ein Skalar. In der Rechnung verwenden wir, daß das Transponieren und die Spurbildung lineare Abbildungen sind.




Und dann noch



Damit ist die Linearität im ersten Argument nachgewiesen. Jetzt zeige die Linearität im zweiten Argument und die Symmetrie. Bei 2. wirst du dann auf Finn_s Hinweise zurückgreifen müssen.
 
 
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