Rang einer Matrix durch Matrixgleichungen

Neue Frage »

Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Matrix durch Matrixgleichungen
Meine Frage:
Hallo! Ich bräuchte Hilfe bei folgender Hausaufgabe für mein Studium:

Über eine Matrix sind folgende Gleichungen bekannt:






Welchen Rang hat ? Geben Sie einen weiteren Vektor an, für den ebenfalls
gilt




Meine Ideen:
Ich weiß, dass der Rang einer Matrix sich aus der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen / Spalte ergibt.

Ich hatte überlegt, aus den Gleichungen LGS zu machen um die Matrix daraus zu berechnen,doch das erscheint mir zu aufwendig.
Ich wäre dankbar über jeden Rat, um auf die Lösung zu kommen!
Beste Grüße Robert
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir die Matrix einmal genauer an. Welchen Rang hat sie? Was bedeutet das für ihre Spalten?
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferlein!

Zunächst mal: Wie erhält man diese Matrix? Du hast ja nur die einzelnen Vektoren x aus den drei Gleichungen nebeneinander in eine Matrix geschrieben. Kann man das so machen?

Ich hatte zuerst überlegt, aus den drei Gleichungen jeweils 3 LGS aufzuschreiben und somit Die Matrix A zu berechnen. Aus z.b. der ersten Gleichung


hätte ich

erhalten. Macht man das für alle Indizes erhält man lustigerweise die Transponierte deiner Matrix

Kann man die genauso verwenden? Oder ist deine Matrix die richtige?

um auf deine Matrix einzugehen:
Ich hab sie umgeformt zu

Ich hab auf Brüche verzichtet im nächsten Umformungsschritt um die 13 in der zweiten Spalte verschwinden zu lassen. Aber man sieht doch daran, dass alle Zeilen linear unabhängig sind. Somit auch alle Spalten. Der Rang der Matrix wäre dann doch
Besitzt das Gleichungssystem damit nicht nur exakt eine Lösung?
Wie können dann überhaupt zwei verschiedene Vektoren x in GLeichung 1 und 2 denselben Vektor
ergeben? Zumal ich ja einen zweiten Vektor finden soll, der ebenfalls wie in Gleichung 3 ergibt ?

LG!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Der Bildraum der linearen Abbildung enthält die zwei linear unabhängigen Vektoren und , damit ist .

2) Die Subtraktion der ersten beiden Gleichungen ergibt , damit ist und folglich .

Mit diesem Vektor aus dem Kern sollte es dann auch kein Problem sein, weitere mit zu konstruieren.
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo !

Zunächst einmal danke für die Antwort !



Leider haben wir weder den Bildraum einer Matrix, noch den Kern behandelt im bisherigen Skript.
Wie lauten die Definitionen?
Kann ich mir den Rang dieser Matrix A noch auf eine andere Weise herleiten?
Wie ginge das mit der Matrix, die der Antwortgeber vor dir erwähnt hatte?
....

Bedeutet das also, dass egal mit welchem Vektor X ich die Matrix multipliziere, ich immer Vielfache der beiden Vektoren und erhalte?
Ist der Rang der Matrix nun genau Zwei oder größer gleich Zwei?

Die Thematik erfordert immer eine Vorstellungskraft, die mir an manchen Stellen leider noch fehlt.
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenfalls ist es für mich doch ein Problem, daraus jetzt einen weiteren Vektor zu kontruieren.

Könntest du mir zeigen, wie man mit dem Vektor

beispielsweise die GLeichung
erzeugt um auf einen der X Vektoren der ersten beiden Gleichungen zu kommen?
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Hinweis zielte auf das, was HAL ausgeführt hat: Es sind die Bilder einer Basis bekannt und somit die Dimension des Bildraums. Das entspricht aber dem Rang von A.

Ein etwas anderer Ansatz wäre es mit der Matrix B aus meinem ersten Beitrag die Gleichung nach A aufzulösen. Aber das setzt Kenntnisse der Berechnung der Inversen voraus, die vermutlich noch nicht bekannt sind.

Vielleicht hilft Dir für b folgende Überlegung weiter: Da f(x)=Ax linear ist, gilt f(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay. Du kennst Ax. Was müsste Ay ergeben, damit A(x+y)=Ax gilt?
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferlein!

Die Berechnung der Inversen wäre kein Problem gewesen.
Aber ich denke die Matrix A zu berechnen, und dann Vektoren zu konstruieren, wäre deutlich aufwendiger als mit der Methode des Kerns, richtig?

Zu deinem Hinweis:

Ay müsste Null ergeben, damit A(x+y) = Ax ergibt.
Meintest du nicht ich kenne Ay ? Denn Ay mit y als Kern der Matrix ergibt ja gerade Null.
Ich hab leider immer noch keine Idee, wie ich aus dem Kern nun die Vektoren konstruieren kann.
Könntest du mir das an einem Beispiel zeigen, einfach mit den bekannten Vektoren, ohne einen neuen zu verraten?
Also vlt am Beispiel aus dem Kern ?
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Und:

wenn ich die Matrix umforme, komme ich immer auf den Rang 3, da keine Nullzeilen enthalten sind.
Wie passt das zusammen?
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte deine anfangsgenannte Matrix
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Robert94
Aber ich denke die Matrix A zu berechnen, und dann Vektoren zu konstruieren, wäre deutlich aufwendiger als mit der Methode des Kerns, richtig?

Das ist richtig, aber vorhin sagtest Du noch, der kern einer Matrix wäre noch nicht thematisiert worden.

Zitat:
Original von Robert94
Meintest du nicht ich kenne Ay ? Denn Ay mit y als Kern der Matrix ergibt ja gerade Null.

Wo ist dann dein Problem? Wegen A(v-w)=Av-Aw liegt die Differenz zweier Urbilder im kern von A, wenn sie dieselben Bilder haben. Da findest Du doch sicher zwei Vektoren mit demselben Bild.

Zitat:
Original von Robert94
wenn ich die Matrix umforme, komme ich immer auf den Rang 3, da keine Nullzeilen enthalten sind.

Und das sagt Dir, wie Du oben ja auch schon selber erwähnt hattest, dass die drei Urbilder, die in der Aufgabe angegeben sind, linear unabhängig sind und somit eine Basis des bilden.
Robert94 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Helferlein!


Was genau sind Urbilder? Was dann Bilder? Oder ein Bildraum?


Wegen dem Rang: Meinte nicht HAL, dass der Rang 2 ist?
Wäre der Rang der Matrix 3, so gebe es doch nur eine einzige Lösung des LGS für beispielsweise den Vektor (2,2,0), steht jedefnalls so im Skript bei Löslichkeit von LGS
Wie können dann zwei Vektoren x zum selben Vektor b (2,2,0) führen? Das verwirrt mich etwas.



Aber ich denke ich habe endlich geschnallt was es mit dem Kern aufsich hat
Um einen zweiten Vektor zu finden:



Also wäre ein weiterer Vektor
Für den gilt:

Soweit so gut? Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Robert94
Wegen dem Rang: Meinte nicht HAL, dass der Rang 2 ist?

So ist es.

Zitat:
Original von Robert94
Um einen zweiten Vektor zu finden:



Also wäre ein weiterer Vektor

Richtige Idee, aber leider verrechnet: Gemäß deiner Konstruktion ist

.

------------------------------------------------------------

Ich kann nur ahnen, worauf Helferlein hinaus will: Gemäß der drei gegebenen Gleichungen ist mit den bekannten Matrizen

sowie .

Da nun , d.h. vollen Rang hat, gilt , und da bekommst du heraus.

Helferleins Argumentation basiert also darauf, dass mit diesem die drei Testvektoren (die Spaltenvektoren von ) eine Basis des bilden. Leider scheinst du das ganze so gedeutet zu haben, dass damit auch ist, was falsch ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzend zu HALs Beitrag:

Ich habe nirgends gesagt, dass der Rang von A drei ist. Ich habe nur behauptet, dass der Rang von A der Dimension des Bildraums entspricht. Damit sind wir dann bei deinen begrifflichen Problemen:

Urbilder = Elemente der Definitionsmenge einer Funktion, die auf bestimmte Elemente der Bildmenge abgebildet werden (salopp formuliert: Das, was Du in die Funktion einsetzen darfst)
Bilder = Elemente der Zielmenge, die ein Urbild besitzen (salopp formuliert: Das was herauskommen kann, wenn Du etwas in die Funktion einsetzt)
Bildraum=Menge aller Bilder einer Funktion. (salopp: Zusammenfassung aller Ergebnisse, die beim Einsetzen in die Funktion entstehen können)

Beispiel: besitzt alle reellen Zahlen als Urbilder, alle nicht-negativen Zahlen als Bilder und die Menge aller reellen Zahlen größer gleich Null als Bildraum. Speziell ist das Urbild von 4 sowohl die 2, als auch die -2. Jede positive Zahl besitzt hier zwei Urbilder.
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute!

Verzeiht die späte Antwort !
Ich hab mir mal direkt einen Account angelegt, da ich noch öfter Eure Hilfe brauchen werde Wink

Zum Thema:

Meine 3 Urbilder sind linear unabhängig, deshalb Rang 3. Somit bilden Sie eine Basis des , können also als Linearkombination alle anderen Vektoren im Raum abbilden.
Der Rang von A ist 2, weil die Matrix der Bilder maximal 2 linear unabhängige Zeilen besitzt.
Folglich gibt es immer nur maximal 2 unabhängie Urbiilder , um ein bestimmtes Bild zu erzeugen.
Darauf basiert die Konstruktion eines zweiten Urbildes um zu erzeugen, nämlich das Urbild

Frage: Ist dann auch wirklcih ein Urbild?
4 Vektoren können ja keinen aufspannen...
Irgendwo habe ich noch einen Denkfehler
lg!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schwucki
Der Rang von A ist 2, weil die Matrix der Bilder maximal 2 linear unabhängige Zeilen besitzt.
Folglich gibt es immer nur maximal 2 unabhängige Urbilder , um ein bestimmtes Bild zu erzeugen.

Das ist nicht korrekt. Die Anzahl der linear unabhängigen Bilder lässt keine Rückschlüsse auf die Anzahl der linear unabhängigen Urbilder zu. Beispiel: f:V->V, v->0 besitzt nur ein Bild, aber unendlich viele Urbilder, von denen dim V linear unabhängig sind.

Zitat:
Original von Schwucki
Frage: Ist dann auch wirklich ein Urbild?
4 Vektoren können ja keinen aufspannen...

Zum ersten: Kannst Du berechnen? Wenn ja, dann ist ein Urbild, wenn nicht, dann nicht.
Zum zweiten: Wieso sollten vier Vektoren den nicht aufspannen können? Dazu ist lineare Unabhängigkeit nicht erforderlich. Stichwort: Erzeugendensystem.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »