Integrierbarkeit zweier Funktionen

18.05.2022, 11:01

HiBee123

Integrierbarkeit zweier Funktionen

Hallöchen

Ich glaube das beide Funktionen integrierbar sind mit Integral=0, aber ich weiß leider gerade nicht wie ich das formal fassen kann. Hättet ihr einen Tipp für mich? Die Grundidee ist doch, dass man endlich viele Punkte rausnehmen kann und das Integral 0 bleibt. blöd ist nur dass man ja bei der ersten unendlich viele Punkte hat. Also vielleicht eine Betrachtung im Grenzübergang? Wie stell ich mich geschickt an?

18.05.2022, 13:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
Die Grundidee ist doch, dass man endlich viele Punkte rausnehmen kann und das Integral 0 bleibt.

Das reicht ja auch dafür, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\varepsilon}^1 f(x) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und beim Rest reicht die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 0\leq \int\limits_0^{\varepsilon} f(x) ~ \dd x \leq \varepsilon\cdot \sup_n a_n \end{eqnarray*}$ , was dann in der Summe $\begin{eqnarray*} 0\leq \int\limits_0^1 f(x) ~ \dd x \leq \varepsilon\cdot \sup_n a_n \end{eqnarray*}$ ergibt, und dann der Grenzübergang $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ . Wie man sieht, ist dabei die Voraussetzung " $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt" essentiell.

18.05.2022, 14:40

HiBee123

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Ah ja. sehr schön, danke Freude

bei der b) ist es ja so, dass nur endlich viele Punkte größer als lambda sind. Also unendlich viele kleiner als lambda und größer gleich null... somit ist das Integral wieder null... Aber ich hab das Gefühl irgendetwas fehlt da in meiner Argumentation...

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