Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?

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MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?
Hey Leute Wink

Gegeben sei für eine orthogonale Matrix mit den Eigenwerten . Aufgabe ist zu zeigen, dass die Eigenräume dieser beiden Eigenwerte bezüglich des Standardskalarprodukts senkrecht aufeinander stehen.

Idee:
Seien und beliebige Eigenvektoren aus den Eigenräumen (Edit: aus dem einen Eigenraum, aus dem anderen Eigenraum) von den Eigenwerten , dann gilt:
,
woraus folgt, dass

Ich denke allerdings, dass ich was falsch gemacht oder nicht richtig beachtet habe. Denn die Eigenschaft der Orthogonalität wurde nicht verwendet und generell scheint der "Beweis" für alle Matrizen mit Eigenwerten 1 und -1 zu funktionieren, auch da bin ich skeptisch. Könnt ihr mir auch hier wieder weiter helfen bitte? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?
Du benutzt, dass ein Eigenvektor von ist, wenn er ein Eigenvektor von ist. Das ist für allgemeine Matrizen falsch.

Genau hier geht die Orthogonalität rein.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?
Ah ok ich verstehe!! Hatte die Eigenschaft erst verwendet und dann später wieder rausgenommen, weil ich dachte, wenn die Eigenwerte übereinstimmen, dann auch die Eigenvektoren. Danke! Mit kleinen Abwandlungen ist das doch dann auch gleich der Beweis dafür, dass bei symmetrischen Matrizen die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, richtig? Hätte nicht gedacht, dass ich tatsächlich so nah an der Lösung dran war haha, DANKE!! smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?
Genau. Beispiel wo es schief geht:
, aber
.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal bei orthogonalen Matrizen?
Sehr cooles Beispiel! Danke noch mals smile
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