Differentialgleichung |
20.05.2022, 23:01 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Differentialgleichung Ich habe folgendes gegeben: y'(x) = 3y(x) mit y(0) = 0. Warum ist der Ansatz y(x) = a * e^(3x) ? Also woher kommt die e-Funktion und der Exponent? Danke für die Aufklärung! |
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20.05.2022, 23:41 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist nicht der Ansatz, sondern die allgemeine Lösung der DGL. Ermittelt durch Trennung der Variablen: |
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21.05.2022, 02:07 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Separation der Variablen setzt allerdings voraus, dass keine Nullstellen besitzt. Laut Anfangsbedingung ist dies jedoch nicht gegeben. Eine gangbarer Weg wäre folgender. Die Forderungen des Satzes von Picard-Lindelöf prüfen. Die Picard-Iteration mit Startfunktion und muss dann gegen die eindeutige Lösung konvergieren. Wegen findet sich per Induktion über Ergo ist die eindeutige Lösung. |
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21.05.2022, 16:15 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Helferlein Vielen Dank für die Antwort. Soweit sind die Umformungen nachvollziehbar. Ich verstehe nur noch nicht ganz, wie man dann auf die e-Funktion kommt...? |
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23.05.2022, 00:00 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der nächste Schritt wäre die Integration beider Seiten mit anschließender Umformung nach y. Aber Finns Einwand ist durchaus berechtigt: Mathematisch sauber ist die Herleitung nur, sofern y keine Nullstelle besitzt. Jedoch lässt sich zeigen, dass die daraus erhaltene Lösung das Ausgangsproblem trotzdem löst. |
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